Hough变换在opencv中的应用

霍夫曼变换(Hough Transform)的原理

霍夫曼变换是一种可以检测出某种特殊形状的算法，OpenCV中用霍夫曼变换来检测出图像中的直线、椭圆和其他几何图形。由它改进的算法，可以用来检测任何形状的图形。

传统Hough变换 ： 枚举统计法

找到通过足够多数量的像素点的所有直线，它分析每个单独的像素，并识别出所有的可能经过它的直线。

当同一条直线穿过许多点，便意味着这条线的存在足够明显。

累加器

累加器就是用来记录某条直线被识别了多少次，霍夫曼最直接的想法是，计算所有可能的直线，找出重复数量最多的那几条，重复次数就是识别的阈值。

演算步骤

Hough transform演算步骤（以直线为例）：

直线公式： y = ax – b

称（x,y）为图像空间的坐标，(a,b)为参数空间

1. 在图像上找出所有可能的特征点
2. 对于每个特征点
    1. 对于每个a，计算通过（x,y）的所有直线（a，b）     
    2. 在累加器的（a,b）位置上加一
    
   重复步骤2，直到所有的特征点都计算完毕
1. 找到累加器里的最大值
2. 将每一个极大值，映射回图片上代表的每一条直线

极坐标

OpenCV实际采用的是极坐标（r，s），以左上角为原点：

r = xcos(s) + ysin(s)
    
代码：

// 选择特征点 (x, y)
int x = 50, y = 30;
// 计算通过它的所有直线
for(inti = 0; i < 180; i++) {
    double s = i * PI/180. ;
    double r = x*cos(s) + y*sin(s);
    // j对应的r从 -100 到 100
    int j = static_cast<int>(r + 100.5);

    std::cout << i << ","<<j<<std::endl;
    // 填入累加器,极坐标 (j代表r，i代表s)
    acc.at<uchar>(j,i)++;
}

性能

由上面的数学原理可知，Hough转换是一个运算耗时，需要大量内存的算法

概率Hough变换

为了改进原算法，提出了一个优化方案，即概率霍夫曼变换
在原算法的基础上做了少许的修改

1. 不再逐行扫描像素点，而是随机挑选
2. 某个直线达到投票值后，扫描并移除所有经过的点，这次扫描结束后还可以得到线段长度
3. 增加两个参数：线段最小长度、组成连续线段的最大像素间隔

算法复杂度增加，但是参与投票的像素点少了，补偿了整个算法的复杂度。

检测其他几何体

霍夫曼变换也可用于检测其他几何体，事实上只要是可以用参数方程表示的东西都可以用Hough进行检测

检测圆形

r^2 = (x – a)^2 + (y – b)^2

方程有3个参数，需要3维累加器，如同直线检测：

// 对某个特征点 (怎么选择是一种优化)
int x, y;
for(a = 0; a < max_a; a++)
    for(b = 0; b < max_b; b++)
    {
        r = (int)sqrt((x-a)*(x-a) + (y-b)*(y-b));
        if(r > 0 && r < max_r)
            acc.at<uchar>(a, b, r)++;
    }

维度变高后，复杂度和可靠度都会变坏，因为精确定位局部峰值变的困难了，OpenCV做了优化，比如只增加圆环梯度方向上的累加器，对结果求直方图而非极值，峰值对应的是检测到的园的半径

广义霍夫曼变换

虽然很难用参数表示一些形状，但原理是相同的：创建一个累加器，用来表示所有可能在目标形状上的位置
为了检测无法被参数化的（没有解析模型）不规则形状泛化Hough变换被提出，Generalized Hough Transform（GHT）
广义hough变换，如果再考虑旋转和缩放就需要在更高维度上搜索.

5个参数表示

定义任意形状的表示参数：

X,Y,r,s,a,thea，其中，XY为形状内的一个参考点，s是缩放因子，thea是方向

分为两大步AB

A：计算R-table

计算R-Table,r是到原点的距离，a是梯度与x轴的夹角（0-180），%代表该点切线（梯度垂直）方向与X轴的夹角
    
r-table是r-table[%] = （r,a），(r',a')

%1 : (r1, a1), (r1',a1')

%2 : (r2, a2), (r2', a2')

… : …

%n : (rn, an), (rn', an')

1. 选取参考点(xc,yc)
2. 初始化R-table为空
3. 对每个边缘点，计算（r，a）值
   1. r = sqrt((x-xc)^2 + (y-yc)^2)
   1. a = tan'((y-yc)/(x-xc))
4. 计算%（切线），并将(r,a)加入与%最接近的%i
5. 重复4、5，直到所有的边缘点都已经加入R-table

B：形状检测

1. 建立2维的hough table H（xc, yc），初始化为0
2. 针对每一个边缘点，计算切线（垂直梯度）夹角%
3. 在R-table中，查找最接近%的%i，对其内的所有（r,a），计算对应的原点（xc，yc）
    
    xc = x + rcos(a)
    
    yc = y + rsin(a)
    
4.     将H(xc, yc)累加1，重复2、3，直到所有的边缘点都完成检测
5.     找出H（xc，yc）中的局部最大值，其（xc，yc）即为检测出来的形状

考虑旋转和缩放

上面的过程没考虑旋转thea和缩放因子，考虑内的H变为

H（xc, yc, thea, s）

B中的3步骤改为

xc = x + r.Scos(a + thea)
    yc = y + r.Ssin(a + thea)

问题

GHT占用内存大，计算复杂，单匹配固定形状的精度高，也许在未来能有更优化的版本