KMP——强大的next数组

\(KMP\) 的原理不在这里仔细讲了，主要说说最近刷题总结出的 \(next\) 数组的强大功能。

部分例题来自《信息学奥赛一本通》的配套练习。

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基于定义——字符串相同前后缀

“基于定义”：我们求的 \(next\) 数组就是字符串到某一位时最长相同前后缀的长度。

注意 \(next\) 数组求的为“最长”的，那如果想知道一个字符串所有相同的前后缀长度咋办？

举个栗子：

假设一个 \(n\) 位的字符串（下标从 \(1\) 到 \(n\)），\(next[n]=p\)

那么该字符串的子串 \([1,p]\) 与 \([n-p+1,n]\) 应是相同的

设 \(next[p]=q\) ，那么子串 \([1,q]\) 与 \([p-q+1,p]\) 是相同的

综上，子串 \([1,q]\) 与 \([n-q+1,n]\) 是相同的，即 \(next[next[n]]\) 也是该字符串相同前后缀长度

就这样 \(next\) 一遍遍向前找，直到某一位的 \(next\) 为 \(0\)， 拓展出一棵 \(next\) 树（也叫 \(fail\) 树）。

例题 \(bzoj3620\)

\(PROBLEM:\)

求一个长度为 \(n\) 的字符串所有形似 \(A+B+A\) , 且 \(len(A) \geq k,len(B) \geq 1\) 的子串数目。

\(n \leq 15000\)

\(SOLUTION:\)

一个奇妙的事情是这个题 \(O(n^2)\) 能过。

于是枚举每一位为起点，\(KMP\) 的过程中，\(next\) 值相当于这一段子串 \(len(A)\) 的最大值

如果它小于 \(k\) ，显然不行。

而若 \(它 \times 2+1 > 子串长度\) 也不行。

所以需要找到合适的 \(len(A)\) 满足 \(len(A) \geq k\) 且 \(len(A) \times 2 +1 \leq 子串长度\)

这就用到 \(next\) 树的思想了！

还有一个小优化，用一个数组记录某一段 \(\geq k\) 的最短的相同前后缀长度，把它作为 \(len(A)\) 判断比较快。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 15005;

char s[N];
int nxt[N],KK,ok[N],ans;

void KMP(char p[]){
    int len=strlen(p+1),k=0;
    nxt[1]=0; ok[0]=ok[1]=-1;
    for(int i=2;i<=len;i++){
        while(k && p[i]!=p[k+1]) k=nxt[k];
        if(p[i]==p[k+1]) k++;
        nxt[i]=k;

        if(k<KK) { ok[i]=-1; continue; }
        if(ok[k]==-1) ok[i]=k;
        else ok[i]=ok[k];
        if(ok[i]*2+1<=i) ans++;
    }
}

int main()
{
    int len;
    scanf("%s",s+1);
    scanf("%d",&KK);
    len=strlen(s+1);

    for(int i=1;i<=len;i++) {
        if(KK*2+1>len-i+1) break;
        KMP(s+i-1);
    }
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}

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拓展功能——字符串循环节

“拓展”：这里的主角为 \(n-next[n]\)

还是举个栗子：

上图中 \(n-next[n]=3\) ，那 \(3\) 是什么呢？

看那些棕圈圈，\(3\) 其实可以叫做字符串的 “类”循环节，因为字符串并不是由这个循环节完完整整组成的。

而若一个字符串有真正的循环节要满足什么条件呢？

答案是 \(n-next[n]\) 整除 \(n\)

同样举个栗子就明了了：

对于所有字符串， \(n-next[n]\) 只是它最短的循环节（类循环节），其他循环节（类循环节）的长度通过 \(next\) 一遍遍向前找求出。

还是 \(next\) 树的思想，结合栗子即可证明，这里就不赘述了。

！！！

注意：有真正循环节的字符串，所有循环节长度都为最短循环节长度的倍数。而类循环节并不满足这一性质！

例题1 \(bzoj1511\)

\(PROBLEM:\)

一个串是有限个小写字符的序列,特别的,一个空序列也可以是一个串. 一个串 \(P\) 是串 \(A\) 的前缀, 当且仅当存在串 \(B\) , 使得 \(A = PB\). 如果 \(P \neq A\) 并且 \(P\) 不是一个空串,那么我们说 \(P\) 是 \(A\) 的一个 \(proper\) 前缀. 定义 \(Q\) 是 \(A\) 的周期, 当且仅当 \(Q\) 是 \(A\) 的一个 \(proper\) 前缀并且 \(A\) 是 \(QQ\) 的前缀(不一定要是 \(proper\) 前缀). 比如串 \(abab\) 和 \(ababab\) 都是串 \(abababa\) 的周期. 串 \(A\) 的最大周期就是它最长的一个周期或者是一个空串(当 \(A\) 没有周期的时候), 比如说, \(ababab\) 的最大周期是 \(abab\). 串 \(abc\) 的最大周期是空串. 给出一个串,求出它所有前缀的最大周期长度之和.

\(串长度 \leq 10^6\)

\(SOLUTION:\)

其实题中说的最大周期就是 \(\neq A\) 的最长“类循环节”

\(next\) 树的思想，用一个数组记录每个“点”在该“树”上最小的非零祖先，否则会超时

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1000005;
typedef long long ll;

int n;
int nxt[N],snxt[N];
char s[N];

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	scanf("%s",s+1);

	ll ans=0;
	int k=0;
	nxt[1]=0; snxt[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		while(k && s[i]!=s[k+1]) k=nxt[k];
		if(s[i]==s[k+1]) k++;
		nxt[i]=k;
		snxt[i]=(k?snxt[k]:i);
		ans+=i-snxt[i];
	}
	printf("%lld\n",ans);

	return 0;
}

例题2 \(bzoj4974\)

\(PROBLEM:\)

一个串 \(T\) 是 \(S\) 的循环节，当且仅当存在正整数 \(k\)，使得 \(S\) 是 \(T^k\) (即 \(T\) 重复 \(k\) 次)的前缀，比如 \(abcd\) 是 \(abcdabcdab\) 的循环节。给定一个长度为 \(n\) 的仅由小写字符构成的字符串 \(S\)， 请对于每个 \(k(1 \leq k \leq n)\)，求出 \(S\) 长度为 \(k\) 的前缀的最短循环节的长度 \(per_i\) 。小 \(Q\) 告诉你 \(n\) 以及 \(per_1,per_2,...,per_n\)，请找到一个长度为 \(n\) 的小写字符串 \(S\)，使得 \(S\) 能对应上 \(per\) 。

\(n \leq 10^5\)

\(SOLUTION:\)

可以发现，\(per_i\) 值其实就是最短“类循环节”长度，也就是 \(n-next[i]\)

于是我们可以求出所有 \(next\) 值，然后进行逆向 \(KMP\) ，得出原字符串。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 100005;

int n;
int nxt[N],vis[26];
char s[N];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&nxt[i]),nxt[i]=i-nxt[i];

    s[1]='a';
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(nxt[i]!=0) { s[i]=s[nxt[i]]; continue; }
        for(int j=0;j<26;j++) vis[j]=0;
        int k=nxt[i-1];
        while(k!=0) vis[s[k+1]-'a']=1,k=nxt[k];
        vis[s[k+1]-'a']=1;
        for(int j=0;j<26;j++)
            if(!vis[j]) { s[i]='a'+j; break; }
    }
    printf("%s",s+1);

    return 0;
}