[bzoj3527] [洛谷P3338] [Zjoi2014]力

Description###

给出n个数qi，给出Fj的定义如下：

\[F_j=\sum\limits_{i<j} \frac{q_iq_j}{(i-j)^2} - \sum\limits_{i>j} \frac{q_iq_j}{(i-1)^2}
\]

令Ei=Fi/qi，求Ei.

Input###

第一行一个整数n。

接下来n行每行输入一个数，第i行表示qi。

n≤100000，0<qi<1000000000

Output###

n行，第i行输出Ei。与标准答案误差不超过1e-2即可。

Sample Input###

5

4006373.885184

15375036.435759

1717456.469144

8514941.004912

1410681.345880

Sample Output###

-16838672.693

3439.793

7509018.566

4595686.886

10903040.872

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想法##

对FFT及卷积等还不是很熟，所以这道题还是参考的题解。

首先，原式化简得：

\[E_j=\sum\limits_{i<j} \frac{q_i}{(i-1)^2} - \sum\limits_{i>j} \frac{q_i}{(i-j)^2}
\]

设 \(g_i= \frac{1}{i^2}\) ，则

\[E_j=\sum\limits_{i<j} q_ig_{j-i} - \sum\limits_{i>j} q_i g_{j-i}
\]

我们发现前面的求和式子就是一个卷积形式，可用fft

而后面的求和式子，若将下标i反过来，就也是一个标准的卷积形式，可用fft

之后就出来啦。

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代码##

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;

const int N = 300005;
const double pi = 3.1415926535897932384626433832795;

struct c{
    double r,i;
    c() { r=i=0.0; }
    c(double x,double y) { r=x; i=y; }
    c operator + (const c &b) { return c(r+b.r,i+b.i); }
    c operator += (const c &b) { return *this=*this+b; }
    c operator - (const c &b) { return c(r-b.r,i-b.i); }
    c operator -= (const c &b) { return *this=*this-b; }
    c operator * (const c &b) { return c(r*b.r-i*b.i,r*b.i+b.r*i); }
    c operator *= (const c &b) { return *this=*this*b; }
}a1[N],a2[N],b[N],x[N];

int l;
int r[N];
void fft(c A[],int ty){
    for(int i=0;i<l;i++) x[r[i]]=A[i];
    for(int i=0;i<l;i++) A[i]=x[i];
    for(int i=2;i<=l;i<<=1){ /**/
        c wn(cos(pi*2/i),ty*sin(pi*2/i));
        for(int j=0;j<l;j+=i){
            c w(1,0);
            for(int k=j;k<j+i/2;k++){
                c t=w*A[k+i/2];
                A[k+i/2]=A[k]-t;
                A[k]+=t;
                w*=wn;
            }
        }
    }
}
int n;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++) {
        scanf("%lf",&a1[i].r);
        a2[n-i-1].r=a1[i].r;
    }
    for(int i=1;i<n;i++) b[i].r=1.0/((double)i*i);

    l=1;
    while(l<n*2) l<<=1;
    for(int i=0;i<l;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)*(l>>1));

    fft(a1,1); fft(a2,1); fft(b,1);
    for(int i=0;i<l;i++) {
        a1[i]*=b[i];
        a2[i]*=b[i];
    }
    fft(a1,-1); fft(a2,-1);

    for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%.3lf\n",a1[i].r/l-a2[n-i-1].r/l);

    return 0;
}