深度优先搜索 DFS（Depath First Search, DFS）

深度优先搜索是一种枚举所有完整路径以遍历所有情况的搜索方法。（不撞南墙不回头）

DFS一般用递归来实现，其伪代码思路过程一般如下：

void DFS(必要的参数）{
    if (符和遍历到一条完整路径的尾部){
        更新某个全局变量的值
    }
    if (跳出循环的临界条件){
        return;
    }
    对所有可能出现的情况进行递归
}

常见题型1：

代码实现：

 #include <stdio.h>
 const int maxn = ;
 int n, V, maxVal = ;        // 物品减数， 背包容量，最大价值maxValue
 int w[];
 int c[];
 int ans = ;        // 最大价值

 // dfs, index是物品编号，nowW是当前所收纳的物品容量，nowC是当前所收纳的物品的总价值
 void dfs(int index, int nowW, int nowC){
     if (index == n){
         return;
     }
     dfs(index + , nowW, nowC);        // 不选第index件商品
     if (nowW + w[index] <= V){        // 选第index件商品，但是先判断容量是否超限
         if (nowC + c[index] > ans){
             ans = nowC + c[index];        // 更新最大价值
         }
         dfs(index + , nowW + w[index], nowC + c[index]);
     }
 }

 int main()
 {
     scanf("%d %d", &n, &V);
     for (int i = ; i < n; i++){
         scanf("%d", &w[i]);            // 每件物品的重量
     }
     for (int i = ; i < n; i++){
         scanf("%d", &c[i]);            // 每件物品的价值
     }

     dfs(, , );
     printf("%d\n", ans);

     return ;
 }

常见题型二：

枚举从N 个整数找那个选择K个数（有时这个数可能可以重复）的所有方案（有时要打印这个方案的序列）

代码实现：

 #include <stdio.h>
 #include <vector>
 using namespace std;

 const int maxn = ;
 // 从包含n个数的序列A中选k个数使得和为x, 最大平方和为maxSumSqu;
 int n, k, sum, maxSumSqu = -, A[maxn];
 vector<int> temp, ans;        // temp存放临时方案，ans存放平方和最大的方案

 void DFS(int index, int nowK, int nowSum, int nowSumSqu){
     if (nowK == k && nowSum == sum){
         if (nowSumSqu > maxSumSqu){
             maxSumSqu = nowSumSqu;
             ans = temp;
         }
         return;
     }
     // 如果已经处理完n个数，或者选择了超过k个数，或者和超过x
     if (index == n && nowK > k && nowSum > sum){
         return;
     }

     // 选这个数
     temp.push_back(A[index]);
     DFS(index + , nowK + , nowSum + A[index], nowSumSqu + A[index] * A[index]);

     // 不选这个数
     // 先把刚加到temp中的数据去掉
     temp.pop_back();
     DFS(index + , nowK, nowSum, nowSumSqu);
 }

如果选出的k个数可以重复，那么只需将上面“选这个数的 index + 1 改成 index 即可”

将

DFS(index + , nowK + , nowSum + A[index], nowSumSqu + A[index] * A[index]);

改成

DFS(index, nowK + , nowSum + A[index], nowSumSqu + A[index] * A[index]);

DFS题型实战：

　　　　　　　　　　1103 Integer Factorization (30分)

The K−P factorization of a positive integer N is to write N as the sum of the P-th power of K positive integers. You are supposed to write a program to find the K−P factorization of N for any positive integers N, K and P.

Input Specification:

Each input file contains one test case which gives in a line the three positive integers N (≤400), K (≤N) and P (1<P≤7). The numbers in a line are separated by a space.

Output Specification:

For each case, if the solution exists, output in the format:

N = n[1]^P + ... n[K]^P

where n[i] (i = 1, ..., K) is the i-th factor. All the factors must be printed in non-increasing order.

Note: the solution may not be unique. For example, the 5-2 factorization of 169 has 9 solutions, such as 12​2​​+4​2​​+2​2​​+2​2​​+1​2​​, or 11​2​​+6​2​​+2​2​​+2​2​​+2​2​​, or more. You must output the one with the maximum sum of the factors. If there is a tie, the largest factor sequence must be chosen -- sequence { a​1​​,a​2​​,⋯,a​K​​ } is said to be larger than { b​1​​,b​2​​,⋯,b​K​​ } if there exists 1≤L≤K such that a​i​​=b​i​​ for i<L and a​L​​>b​L​​.

If there is no solution, simple output Impossible.

Sample Input 1:

169 5 2

Sample Output 1:

169 = 6^2 + 6^2 + 6^2 + 6^2 + 5^2

Sample Input 2:

169 167 3

Sample Output 2:

Impossible

代码实现：

 #include <stdio.h>
 #include <vector>
 #include <algorithm>
 #include <math.h>
 using namespace std;

 // 从1 - 20中选出k个数，数可重复，使得这些数的p次方的和刚好等于n, 求这些序列中和最大的那个序列

 int A[];
 int flag = ;
 int n, k, p, maxSum = -;
 vector<int> ans, temp, fac;        // ans 存放最终序列, temp存放临时序列

 // 快速幂
 int power(int i){
     /*if (p == 1 )
         return i;
     if ((p & 1) != 0)
         return i * power(i, p - 1);
     else
     {
         int temp = power(i, p / 2);
         return temp * temp;
     }*/

     int ans = ;
     for (int j = ; j < p; j++){
         ans *= i;
     }
     return ans;
 }

 // 求出所有不大于n的p次幂
 void init(){
     int i = , temp = ;
     while (temp <= n){
         fac.push_back(temp);
         temp = power(++i);
     }
 }

 // DFS
 void DFS(int index, int nowK, int sum, int squSum){
     // 临界条件
     if (squSum == n && nowK == k){
         if (sum > maxSum){
             maxSum = sum;
             ans = temp;
         }

         return;
     }

     if (sum > n || nowK > k){
         return;
     }

     if (index >= ){
         // 遍历所有可能的情况
         // 选当前数
         temp.push_back(index);
         DFS(index, nowK + , sum + index, squSum + fac[index]);

         // 不选当前数
         temp.pop_back();
         DFS(index - , nowK, sum, squSum);

     }
 }

 int main()
 {
     // 读取输入
     // freopen("in.txt", "r", stdin);
     scanf("%d %d %d", &n, &k, &p);

     // 初始化fac数组
     init();

     // DFS寻找最合适的序列
     DFS(fac.size() - , , , );

     // 输出
     // 如果ans的size大于1则说明有结果
     if (maxSum != -){
         // 排序
         printf("%d = %d^%d", n, ans[], p);
         for (int i = ; i < ans.size(); i++){
             printf(" + %d^%d", ans[i], p);
         }
     }else
         printf("Impossible");

     // fclose(stdin);
     return ;
 }

这个实战题主要就是要先把 所有不超过 N 的 i ^p都算出来，要不然会超时