2019-08-15 纪中NOIP模拟B组
T1 [JZOJ3455] 库特的向量
题目描述
从前在一个美好的校园里,有一只(棵)可爱的弯枝理树。她内敛而羞涩,一副弱气的样子让人一看就想好好疼爱她。仅仅在她身边,就有许多女孩子想和她BH,比如铃,库特,等等。不过,除却巫山不是云,理树的心里只有那个帅气高大的男孩子——恭介,这让女孩子们不得不终日唉声叹气,以泪洗面。不过恭介是那样强大而完美,根本没有办法击败他,她们也只好咬牙忍痛度日,以待反击之时。
终于,她们获得了一次机会。机智的库特利用弹道学、密码学、宇宙学的知识设计出了一个密室,可以让进入的人无法从内部打开出口。库特设计密码的过程很奇葩,是由两个用整数坐标表示的n 维向量导出的。神奇的是,对于这两个向量中的任意一个,无论如何将它的坐标打乱(例如(a1,a2,a3)变成(a3,a1,a2)),打乱后的数量积都不会比原来的两个向量的数量积小。而库特就把原来的两个向量的数量积作为了密码。现在她们只用把恭介引入就可以了。但是,好事多磨,由于她们的粗心大意,在测试密室的时候不小心把自己给关了进去,而且还带走了密码纸。在外面的铃只找到了库特写着两个打乱后的向量的草稿。哇呼~能不能解救这些萌妹子,就看你了。
数据范围
对于 $50\%$ 的数据,$N \leq 8$,$\vert A_i \vert , \vert B_i \vert \leq 10^3$
对于 $100\%$ 的数据,$N \leq 10^3$,$\vert A_i \vert , \vert B_i \vert \leq 10^5$
分析
B(ai)H(e)??? 题面越来越搞了啊
再现惊天水题 贪心小乘大 积之和一定最小
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 1005 int n;
ll ans, a[N], b[N]; int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = ; i <= n; i++) scanf("%lld", a + i);
for (int i = ; i <= n; i++) scanf("%lld", b + i);
sort(a + , a + n + );
sort(b + , b + n + );
for (int i = ; i <= n; i++)
ans += a[i] * b[n + - i];
printf("%lld\n", ans); return ;
}
T2 [JZOJ3456] 恭介的法则
题目描述
终于,在众亲们的奋斗下,最终boss恭介被关进了库特设计的密室。正当她们松了一口气时,这个世界却发生了天翻覆地的变化:地面开始下沉,天空开始变成血红色,海水沸腾……一幅世界末日的图景。美鱼从她手中的古籍《若山牧水诗歌集》中发现了原因:白鸟は かなしからずや 空の青 海のあをにも 染まずただよふ 。大(xia)意(shuo)就是狡猾的恭介在创造这个世界的时候就篡改了法则。而这个法则的起源,就是一只生死之间的猫。这个猫被关在一个黑盒子里,盒子里有两个毒气罐,如果有任意一个毒气罐被打开那么猫将会被杀死,法则也能得到纠正。然而外界能控制的仅仅是这两个毒气罐被打开的概率。假设第一个毒气罐被打开的概率为1/x,第二个毒气罐为1/y(x,y 为正整数),那么当两个概率和为1/(n!)时,猫将会被莫名其妙地杀死。现在美鱼想知道,有多少对(x,y)可以让猫被莫名其妙杀死。
数据范围
对于 $30\%$ 的数据,$N \leq 6$
对于 $60\%$ 的数据,$N \leq 50$
对于 $100\%$ 的数据,$N \leq 7 \times 10^5$
分析
薛定谔的猫???
题目中要求算出满足 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n!}$ 的所有数对 $(x,y)$ 的个数
该式可以化为 $(x+y)n!=xy$,但是这样似乎看不出来要怎么继续化简
观察一式可以发现 $x,y>n!$,于是设 $x=n!+k_1$,$y=n!+k_2$($k_1,k_2$ 为正整数)
然后代入二式中得到 $k_1 k_2=(n!)^2$
这样这道题就转化为求 $(n!)^2$ 的约数个数
求一个数 $n$ 的约数个数,我们自然会想到这个公式 $f(n)= \prod_{i=1}^k (a_i+1)$
其中 $n$ 的唯一分解式为 $n=p_1^{a_1} \, p_2^{a_2} \, p_3^{a_3}···p_k^{a_k}$
然而 $n!$ 是一个非常大的数,我们不可能直接将它质因数分解,所以考虑如何求出每个质因数的次数
例如对于 $2$ 这个质数,$n$ 以内所有 $2$ 的倍数都会对其次数产生 $1$ 点贡献,所有 $4$ 的倍数会在原来基础上再产生 $1$ 点贡献,同理 $8$ 的倍数也会再产生 $1$ 点贡献……
以此类推,我们可以在埃式筛 $n$ 以内质数的同时,$O(log \; n)$ 求出每个质因数的次数
最后就是要写高精,还要至少压七八位
(本来没有压位 $TLE \; 60 \, pts$,最后五分钟想到可以压个位,结果有点慌忘打前导零 $WA$ 了,还少了关键的 $10 \, pts$,是我太作最后十分钟来检查代码,Rank1没了啊
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 700005
#define mod 1000000000 int n, book[N];
ll len, s[N]; void mul(ll x) {
ll last = ;
for (int i = ; i <= len; i++)
s[i] = s[i] * x + last, last = s[i] / mod, s[i] %= mod;
s[len + ] = last;
while (s[len + ])
len++, s[len + ] = s[len] / mod, s[len] %= mod;
} int main() {
scanf("%d", &n);
s[++len] = ;
for (int i = ; i <= n; i++) {
if (book[i]) continue;
for (int j = ; i * j <= n; j++)
book[i * j] = ;
ll j = i, k = ;
while (j <= n) k += n / j, j *= i;
mul(k << | );
}
printf("%lld", s[len]);
for (int i = len - ; i; i--)
printf("%08lld", s[i]); return ;
}
T3 [JZOJ3457] 沙耶的玩偶
题目描述
在美鱼和理树后援团拯救世界的同时,外表柔弱的理树也开始坚强起来,思考着离开这个世界的办法。误打误撞地,她遇上了正在教室破坏课桌打开迷宫入口的沙耶。沙耶告诉理树,这个世界的出口就是这个迷宫的出口。于是理树毫不犹豫地跟沙耶一起跳进了迷宫。在迷宫里,两个女孩子互帮互助,一会儿割绳子,一会儿泡温泉,一会儿雕冰块,跌跌撞撞地走到了终点。不出所料,终点也有一个机关在等着她们。
终点的机关是一个立着的m*n的方格棋盘,在有些格子上放了一个玩偶,而有些地方直接挖了个大坑。只有取走所有玩偶才能打开出口。但是,由于奇怪的设定,理树和沙耶不能直接触碰玩偶,他们需要操纵机器人来收集它。机器人的走法很奇怪,和国际象棋的马有点像,只不过马可以走任意方向的1*2路线,它们只会由上往下走r*c(或c*r)的路线,不能回头。而机器人一旦经过一个有玩偶的格子,那个格子上的玩偶将被回收,并且在机器人离开时,那个格子会变成一个坑。理树可以把机器人放在任何一个有玩偶的格子上作为起点,也可以在任何一个有玩偶的格子回收机器人。机器人行走可以视为瞬移,只不过每一次设置新起点都会消耗1 时间。并且,有坑的格子不能落脚。
就在这个紧要关头,玩偶狂热爱好者的沙耶却流着口水智商归0。理树不得不转而求助你,帮忙计算出最少多少时间就能收集到所有玩偶。
数据范围
对于 $30\%$ 的数据,$1 \leq M,N \leq 4$,$1 \leq R,C \leq 3$
对于 $70\%$ 的数据,$1 \leq M \leq 20$,$1 \leq N \leq 4$,$1 \leq R,C \leq 3$
对于 $100\%$ 的数据,$1 \leq M,N \leq 50$,$1 \leq R,C \leq 10$
分析
考场上笔推了一下发现是求走满所有玩偶位置的不相交路径个数,而且模拟过程很像匈牙利
看了下数据,发现匈牙利确实可做,然后很快就码了
具体就是在每个玩偶位置尝试扩展一条边,如果能扩展就继续枚举下一个位置,如果不能扩展,就说明这个点是一条路径的终点,计入答案
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 55 int n, m, r, c, ans;
int d[][], used[N][N], link[N][N][];
char g[N][N]; bool check(int x, int y) {
if (x < || x > n) return false;
if (y < || y > m) return false;
if (g[x][y] == 'x') return false;
return true;
} bool dfs(int x, int y) {
for (int i = ; i < ; i++) {
int dx = x + d[i][];
int dy = y + d[i][];
if (!used[dx][dy] && check(dx, dy)) {
used[dx][dy] = ;
if (!link[dx][dy][] || dfs(link[dx][dy][], link[dx][dy][])) {
link[dx][dy][] = x; link[dx][dy][] = y;
return true;
}
} }
return false;
} int main() {
scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &r, &c);
d[][] = r; d[][] = -c; d[][] = c; d[][] = -r;
d[][] = c; d[][] = r; d[][] = r; d[][] = c;
for (int i = ; i <= n; i++)
for (int j = ; j <= m; j++)
scanf(" %c", &g[i][j]);
for (int i = ; i <= n; i++)
for (int j = ; j <= m; j++) {
if (g[i][j] == 'x') continue;
memset(used, , sizeof used);
if (!dfs(i, j)) ans++;
}
printf("%d\n", ans); return ;
}
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