洛谷P1147 连续自然数和 题解 枚举

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1147

题目大意：

给你一个数 \(M\) ，求有多少对连续自然数对之和为 \(M\)，输出这列连续自然数对的首项和末项。

解题思路：

枚举连续自然数对的元素个数 \(i\) 。

因为连续自然数对的元素个数越多，则首项越小，所以我们从 \(M\) 到 \(2\) 枚举个数 \(i\)。

在已知元素个数的情况下，我们设首项为 \(a\) ，则有：

\[a+a+1+ \dots + a+i-1 = M
\]

\[\Rightarrow a \times i + 1+2+ \dots +i-1 = M
\]

\[\Rightarrow a \times i + \frac{i \times (i-1)}2 = M
\]

\[\Rightarrow a = \frac{M-\frac{i(i-1)}2}{i}
\]

所以上述公式中的分母能被分子整除，并且计算得到的 \(a > 0\) ，则找到一个连续自然数对，其首项为 \(a\) ，末项为 \(a+i-1\) 。

需要注意的是，因为 \(M \le 2 \times 10^6\) ，所以 \(i \times i / 2\) 可能会超 int，所以在处理的时候有两种解决办法：

• 一种是开long long；
• 另一种是先判断 \((i-1)/2 > m/i\) 是否成立，如果成立就说明首项 \(\le 0\) ，就跳过这步往更小的区间去判断。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m;
int main() {
    cin >> m;
    for (int i = m; i > 1; i --) {
        if ((i-1)/2 > m/i) continue;
        if ( (2*m-i*(i-1)) % (2*i) == 0 ) {
            int a = (2*m-i*(i-1))/(2*i);
            int b = a + i - 1;
            if (a > 0)
                cout << a << " " << b << endl;
        }
    }
    return 0;
}