判断无向图是否有环路的方法 -并查集 -BFS

可以利用并查集或者带颜色标记的BFS（来自算法导论）判断。

首先介绍第一种，用并查集来判断：

首先初始化所有元素的根为-1，-1代表根节点，接下来对于图中的每一条边(v1,v2)都并入集合，并入的方式为查找v1和v2的根节点，然后让v2的根节点作为v1的根节点，查找根节点的过程为：如果当前的结点根为-1，说明这个结点就是根，直接返回，否则再继续查找结点父亲的根，直到找到祖先结点，这里因为只是判断环路，不需要压缩路径：

int findSet(int x){

    if(Parent[x] == -1){
        return x; // x is root
    }
    return findSet(Parent[x]);

}

在找到v1的根vp1和v2的根vp2以后，首先判断他们是否是同根的，对于一个无环图，某条边并入集合前是不会出现同根的情况的，这是因为这条边中一定有一个结点是新加入集合的（否则这条边就重复了），这个结点的根一定为-1，而另一个已经并入的，会存着根结点的序号（不一定是祖先，因为没有压缩路径），只有图有环的时候才可能两个根相同，因此以vp1是否等于vp2作为图是否有环的依据，一旦发现，即说明有环，直接返回，没有则合并v1、v2，继续进行。

注意：虽然是无向图，但是边只能单向遍历，如果把两个方向的边都遍历，势必有一边出现同根的两结点，一定要注意！！！

具体代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <memory.h>

using namespace std;

vector<int> Parent;

void initSet(){

    for(int i = 0; i < Parent.size(); i++)
        Parent[i] = -1;

}

int findSet(int x){

    if(Parent[x] == -1){
        return x; // x is root
    }
    return findSet(Parent[x]);

}

void UnionSet(int x, int y){

    int xp = findSet(x);
    int yp = findSet(y);
    Parent[xp] = yp;

}

int main(){

    int N, E;
    cin >> N >> E;
    vector<vector<int> > edges(N);
    Parent.resize(N);
    int v1,v2;
    for(int i = 0; i < E; i++){
        cin >> v1 >> v2;
        edges[v1].push_back(v2);
        //edges[v2].push_back(v1);
    }
    // 测试是否有环
    initSet();
    for(int v = 0; v < edges.size(); v++){
        for(int i = 0; i < edges[v].size(); i++){
            int w = edges[v][i];
            int xp = findSet(v);
            int yp = findSet(w);
            if(xp == yp){
                cout << "未合并前同根，说明有环。" << endl;
                return 0;
            }
            UnionSet(v,w);
        }
    }
    cout << "无环" << endl;
    return 0;

}

第二种方法，是利用BFS。

我们规定结点有三种颜色，白色、灰色、黑色，在结点没有访问之前，为白色，当结点入队时，结点变灰，出队时变黑。

因为BFS是按层的顺序、从左到右进行遍历的，因此当一个根结点变黑后，也就是它出队以后，接下来要将它的所有未访问过的子结点（邻接点）入队，并且染上灰色，下面我们讨论任一个子结点的颜色。

如果没有环，子结点的颜色只可能是白色，也就是未访问过，如果子结点的颜色为灰色，说明入队过，可能是在根结点变黑（出队）之前就有一个结点有这个子结点作为邻接点，从而进行了第一次访问，这也就是有环的情况，因此，只需要在BFS过程中检测出队结点的邻接点是否有灰色结点即可，有灰色结点可理解得出有环的结论。

具体代码如下：

bool hasCycle(int s){

    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        nodesColor[i] = colorWhite;
    }

    queue<int> Q;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty()){

        int v = Q.front();
        Q.pop();
        nodesColor[v] = colorGray;
        for(int index = 0; index < Graph[v].size(); index++){
            int w = Graph[v][index];
            if(nodesColor[w] == colorWhite){
                Q.push(w);
                nodesColor[w] = colorGray;
            }else if(nodesColor[w] == colorGray){
                    return true;
            }
        }
        nodesColor[v] = colorBlack;
    }

    return false;

}