bzoj千题计划251：bzoj3672: [Noi2014]购票

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3672

法一：线段树维护可持久化单调队列维护凸包 斜率优化DP

设dp[i] 表示i号点到根节点的最少花费

dis[i] 表示 点i到根节点的距离

dp[i]= min { （dis[i]-dis[j]）* P[i] + Q[i] + dp[j] }   j是i的祖先且dis[i]-dis[j]<=L[i]

即 dp[i]+dis[j]*P[i]=dp[j]+dis[i]*P[i]+Q[i]

斜率优化，dp[i]=斜率为P[i] 的直线 截（dis[j],dp[j]）所得的截距最小值

如果不考虑L[i] 的限制：

那就可以用一个可持久化的单调队列维护 根节点到当前点的路径上所有的点构成的下凸壳

考虑如何去除兄弟节点的子树对单调队列的影响

即在一个节点退出dfs时，将单调队列恢复为这个节点开始dfs的情况

头指针：头指针的前移不会涉及单调队列元素的修改，因为从根往下走不能保证斜率单调，所以头指针不能出队，需要二分找到最小的 斜率>P[i] 的点来更新dp[i]

尾指针：尾指针的前移会涉及到单调队列元素的替换，但替换只会替换一个元素，所以记录下 替换的是谁，原来的尾指针是谁，退出的时候恢复即可

加上L[i]的限制：

用线段树维护，若线段树节点的区间为[l,r]，那这个节点维护的是当前链上  深度为[l,r]的点构成的凸包

即由原来的维护一个单调队列变成维护nlogn个单调队列

每个节点开一个vector？ 光开nlogn个vector就TLE了吧

开一个nlogn的数组v存储整条链上凸包内的点

在建树的时候，按节点的顺序给头指针分一个位置x，若节点的大小为y，

那么这个节点维护的单调队列 中的点会出现在v数组的[x,x+y-1]位置

这样线段树内只需要存储单调队列的头尾指针即可

单调队列采用 左闭右开 的好处：

多个可持久化单调队列，头尾指针相连

如果头尾指针是左闭右闭

如果队列为空，tail<head,导致 后一个队列的尾指针=前一个队列的头指针

这样尾指针替换更改，记录的替换位置为tail，即前一个队列的head

退出dfs替换回去 错误的替换了前一个队列的head

头尾指针左闭右开就不会有这个问题

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define N 200001

typedef long long LL;

int n;
int P[N];
LL Q[N],L[N];

int front[N],to[N],nxt[N],tot;
LL val[N];

struct node
{
    int head,tail;
}tr[N<<];
int v[N*];

int sum;

LL dep[N],dis[N];
LL dp[N];

int re_t[N][],re_w[N][];

template<typename T>
void read(T &x)
{
    x=; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) { x=x*+c-''; c=getchar(); }
}

void add(int u,int v,LL w)
{
    to[++tot]=v; nxt[tot]=front[u]; front[u]=tot; val[tot]=w;
}

void build(int k,int l,int r)
{
    tr[k].head=sum+;
    tr[k].tail=tr[k].head;
    sum+=r-l+;
    if(l==r) return;
    int mid=l+r>>;
    build(k<<,l,mid);
    build(k<<|,mid+,r);
}

inline double slope(int i,int j)
{
    return 1.0*(dp[j]-dp[i])/(dis[j]-dis[i]);
}

int find_ans(int k,int p)
{
    int l=tr[k].head;
    int r=tr[k].tail-;
    if(l==r) return v[l];
    r--;
    int mid,tmp=-;
    while(l<=r)
    {
        mid=l+r>>;
        if(p<slope(v[mid],v[mid+])) tmp=mid,r=mid-;
        else l=mid+;
    }
    if(tmp==-) return v[tr[k].tail-];
    return v[tmp];
}   

int query(int k,int l,int r,int opl,int opr,int p)
{
    if(l>=opl && r<=opr) return find_ans(k,p);
    int mid=l+r>>;
    if(opr<=mid) return query(k<<,l,mid,opl,opr,p);
    else if(opl>mid) return query(k<<|,mid+,r,opl,opr,p);
    else
    {
        int t1=query(k<<,l,mid,opl,opr,p);
        int t2=query(k<<|,mid+,r,opl,opr,p);
        if(p<slope(t1,t2)) return t1;
        return t2;
    }
}   

int find(int r,LL lim)
{
    int l=;
    int tmp,mid;
    while(l<=r)
    {
        mid=l+r>>;
        if(dep[mid]>=lim) tmp=mid,r=mid-;
        else l=mid+;
    }
    return tmp;
}

int in_queue(int k,int j)
{
    if(tr[k].head==tr[k].tail) return tr[k].head;
    int l=tr[k].head,r=tr[k].tail-,tmp=-,mid;
    while(l<=r)
    {
        mid=l+r>>;
        if(slope(v[mid],v[mid+])>slope(v[mid],j)) tmp=mid+,r=mid-;
        else l=mid+;
    }
    if(tmp==-) return tr[k].tail;
    return tmp;
}

void insert(int k,int l,int r,int x,int w,int d)
{
    int pos=in_queue(k,w);
    re_t[w][d]=tr[k].tail;
    re_w[w][d]=v[pos];
    v[pos]=w;
    tr[k].tail=pos+;
    if(l==r) return;
    int mid=l+r>>;
    if(x<=mid) insert(k<<,l,mid,x,w,d+);
    else insert(k<<|,mid+,r,x,w,d+);
}

void del(int k,int l,int r,int x,int w,int d)
{
    v[tr[k].tail-]=re_w[w][d];
    tr[k].tail=re_t[w][d];
    if(l==r) return;
    int mid=l+r>>;
    if(x<=mid) del(k<<,l,mid,x,w,d+);
    else del(k<<|,mid+,r,x,w,d+);
}

void dfs(int x,int d)
{
    if(x!=)
    {
        LL lim=dis[x]-L[x];
        int j=query(,,n,find(d-,lim),d-,P[x]);
        dp[x]=(dis[x]-dis[j])*P[x]+Q[x]+dp[j];
    }
    insert(,,n,d,x,);
    for(int i=front[x];i;i=nxt[i])
    {
        dis[to[i]]=dis[x]+val[i];
        dep[d+]=dep[d]+val[i];
        dfs(to[i],d+);
    }
    del(,,n,d,x,);
}

int main()
{
    int t;
    read(n); read(t);
    int f; LL s;
    for(int i=;i<=n;++i)
    {
        read(f); read(s); read(P[i]); read(Q[i]); read(L[i]);
        add(f,i,s);
    }
    sum=; build(,,n);
    insert(,,n,,,);
    dfs(,);
    for(int i=;i<=n;++i) cout<<dp[i]<<'\n';
    return ;
}

法二、点分治+斜率优化dp

朴素的dp是往上找能更新它的点

这里往下找它能更新的点

具体做法：

找出分治重心后，先 解决重心 的祖先（包括重心）那块儿

然后求出 原树根节点到重心的凸包 更新重心的子树

至于 距离的限制，我们把重心的子树中所有点 按能更新它的 深度最小的城市 从大到小排序

枚举这些点i

构造重心到原树根节点的凸包时，从重心往上依次加点，只加入 深度>= 当前点i深度限制 的点

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define N 200001 

typedef long long LL;

int n;
int front[N],nxt[N],to[N],tot;
LL val[N];

int fa[N],P[N];
LL Q[N],L[N];

LL dis[N];

bool vis[N];

int root;
int siz[N],mx[N];

struct node
{
    int id;
    LL lim;
}e[N];
int cnt;
int st[N];

LL dp[N];

template<typename T>
void read(T &x)
{
    x=; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) { x=x*+c-''; c=getchar(); }
}

void add(int u,int v,LL w)
{
    to[++tot]=v; nxt[tot]=front[u]; front[u]=tot; val[tot]=w;
}

void dfs(int x)
{
    for(int i=front[x];i;i=nxt[i])
    {
        dis[to[i]]=dis[x]+val[i];
        dfs(to[i]);
    }
} 

void get_siz(int x,int all)
{
    siz[x]=; mx[x]=;
    for(int i=front[x];i;i=nxt[i])
        if(!vis[to[i]])
        {
            get_siz(to[i],all);
            siz[x]+=siz[to[i]];
            if(siz[to[i]]>mx[x]) mx[x]=siz[to[i]];
        }
    mx[x]=max(mx[x],all-siz[x]);
    if(mx[x]<mx[root] && siz[x]>) root=x;
} 

void dfs2(int x)
{
    e[++cnt].id=x;
    e[cnt].lim=dis[x]-L[x];
    for(int i=front[x];i;i=nxt[i])
        if(!vis[to[i]]) dfs2(to[i]);
}

bool cmp(node p,node q)
{
    return p.lim>q.lim;
}

double slope(int i,int j)
{
    return 1.0*(dp[j]-dp[i])/(dis[j]-dis[i]);
}

void solve(int x,int all)
{
    if(all==) return;
    root=;
    get_siz(x,all);
    int rt=root;
    for(int i=front[root];i;i=nxt[i])
        vis[to[i]]=true;
    solve(x,all-siz[root]+);
    cnt=;
    for(int i=front[rt];i;i=nxt[i])
        dfs2(to[i]);
    sort(e+,e+cnt+,cmp);
    int now=rt,top=;
    for(int i=;i<=cnt;++i)
    {
        while(now!=fa[x] && e[i].lim<=dis[now])
        {
            while(top> && slope(st[top],st[top-])<slope(now,st[top])) top--;
            st[++top]=now;
            now=fa[now];
        }
        if(top)
        {
            int l=,r=top-,mid,tmp=-;
            while(l<=r)
            {
                mid=l+r>>;
                if(slope(st[mid],st[mid+])>=P[e[i].id]) tmp=mid+,l=mid+;
                else r=mid-;
            }
            if(tmp==-) tmp=;
            dp[e[i].id]=min(dp[e[i].id],(dis[e[i].id]-dis[st[tmp]])*P[e[i].id]+Q[e[i].id]+dp[st[tmp]]);
        }
    }
    for(int i=front[rt];i;i=nxt[i])
        solve(to[i],siz[to[i]]);
}

int main()
{
    int t;
    read(n); read(t);
    LL s;
    for(int i=;i<=n;++i)
    {
         read(fa[i]); read(s); read(P[i]); read(Q[i]); read(L[i]);
         add(fa[i],i,s);
    }
    dfs();
    mx[]=n+;
    for(int i=;i<=n;++i) dp[i]=2e17+1e12;
    solve(,n);
    for(int i=;i<=n;++i) cout<<dp[i]<<'\n';
}

3672: [Noi2014]购票

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Description

 今年夏天，NOI在SZ市迎来了她30周岁的生日。来自全国 n 个城市的OIer们都会从各地出发，到SZ市参加这次盛会。

       全国的城市构成了一棵以SZ市为根的有根树，每个城市与它的父亲用道路连接。为了方便起见，我们将全国的 n 个城市用 1 到 n 的整数编号。其中SZ市的编号为 1。对于除SZ市之外的任意一个城市 v，我们给出了它在这棵树上的父亲城市 f_v  以及到父亲城市道路的长度 s_v。

从城市 v 前往SZ市的方法为：选择城市 v 的一个祖先 a，支付购票的费用，乘坐交通工具到达 a。再选择城市 a 的一个祖先 b，支付费用并到达 b。以此类推，直至到达SZ市。

对于任意一个城市 v，我们会给出一个交通工具的距离限制 l_v。对于城市 v 的祖先 a，只有当它们之间所有道路的总长度不超过 l_v  时，从城市 v 才可以通过一次购票到达城市 a，否则不能通过一次购票到达。对于每个城市 v，我们还会给出两个非负整数 p_v,q_v  作为票价参数。若城市 v 到城市 a 所有道路的总长度为 d，那么从城市 v 到城市 a 购买的票价为 dp_v+q_v。

每个城市的OIer都希望自己到达SZ市时，用于购票的总资金最少。你的任务就是，告诉每个城市的OIer他们所花的最少资金是多少。

 

Input

第 1 行包含2个非负整数 n,t，分别表示城市的个数和数据类型（其意义将在后面提到）。输入文件的第 2 到 n 行，每行描述一个除SZ之外的城市。其中第 v 行包含 5 个非负整数 f_v,s_v,p_v,q_v,l_v，分别表示城市 v 的父亲城市，它到父亲城市道路的长度，票价的两个参数和距离限制。请注意：输入不包含编号为 1 的SZ市，第 2 行到第 n 行分别描述的是城市 2 到城市 n。

Output

输出包含 n-1 行，每行包含一个整数。其中第 v 行表示从城市 v+1 出发，到达SZ市最少的购票费用。同样请注意：输出不包含编号为 1 的SZ市。

Sample Input

7 3
1 2 20 0 3
1 5 10 100 5
2 4 10 10 10
2 9 1 100 10
3 5 20 100 10
4 4 20 0 10

Sample Output

40
150
70
149
300
150