[UOJ22]外星人

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题解

首先可以发现有效果的\(a_i\)大小一定是递减的,而且一定小于等于当前值

所以我们可以从大到小考虑每个\(a_i\),当确定了一个有效果的\(a_i\)时,\((a_i,x]\)的数都可以随意的放在\(a_i\)之后并且不会造成影响

设\(f_i\)表示考虑完所有的大小大于\(i\)数,当前数值为\(i\)的方案数

\(s_i\)表示\(\le i\)的数的个数

那么\(f_{i\%a[j]}=f_{i}\times A_{s_{i}-1-s[i\%a[j]]}^{s_i-1}\)

表示每次把\(i\%a[j]\sim i-1\)之间的数插在所有\(\le i\)之间的数的方案数

其实这个\(dp\)的过程就相当于把一个一个的数往数列里插入计算贡献,只不过这个\(dp\)的过程是反着的

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
const int M = 5005 ;
const int mod = 998244353 ;
using namespace std ;

inline int read() {
	char c = getchar() ; int x = 0 , w = 1 ;
	while(c>'9'||c<'0') { if(c=='-') w = -1 ; c = getchar() ; }
	while(c>='0'&&c<='9') { x = x*10+c-'0' ; c = getchar() ; }
	return x*w ;
}

int n , m , x , minv = 5000 ;
int sum[M] , val[M] , f[M] ;
int inv[M] , fac[M] , finv[M] ;

inline int A(int n , int m) {
	return 1LL * fac[n] * finv[n - m] % mod ;
}
int main() {
	n = read() ; x = read() ;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
		val[i] = read() ;  minv = min( minv , val[i] ) ;
		m = max(m , val[i]) ; ++ sum[val[i]] ;
	}
	for(int i = 1 ; i <= 5000 ; i ++)  sum[i] += sum[i - 1] ;
	inv[1] = 1 ; for(int i = 2 ; i <= 5000 ; i ++) inv[i] = 1LL * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod ;
	fac[0] = 1 ; for(int i = 1 ; i <= 5000 ; i ++) fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % mod ;
	finv[0] = 1 ; for(int i = 1 ; i <= 5000 ; i ++) finv[i] = 1LL * finv[i - 1] * inv[i] % mod ;
	f[x] = 1LL * fac[n] * finv[sum[x]] % mod ;
	for(int i = x ; i ; i --)
		for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
			if(val[j] <= i)
				f[i % val[j]] = ( f[i % val[j]] + 1LL * f[i] * A( sum[i] - 1 , sum[i] - sum[i % val[j]] - 1 ) % mod ) % mod ;
	for(int i = minv - 1 ; i >= 0 ; i --)
		if(f[i]) {
			printf("%d\n%d\n",i , f[i]) ;
			break ;
		}
	return 0 ;
}