Codeforces 898E Squares and not squares

题目大意

给定 $n$（$n$ 是偶数，$2\le n\le 2\times 10^{5}$）个非负整数 $a_1,\dots, a_n$（$a_i\le 10^9$）。
要求将其中 $n/2$ 个数变成平方数，另外 $n/2$ 个数变成非平方数，变化后的数必须仍是非负整数。
将 $x$ 变成 $x'$ 的代价为 $|x-x'|$ 。
求最小的总代价。

比赛时我的思路

用 $c_{i,0}$ 表示将 $a_i$ 变成平方数的最小代价，$c_{i,1}$ 表示将 $a_i$ 变成非平方数的最小代价，不难求出这两个值。
那么问题转化为

从 $c_{1,0}, c_{2,0}, \dots, c_{n,0}$ 和 $c_{1,1}, c_{2,1}, \dots, c_{n,1}$ 中各取出 $n/2$ 个数，限制条件是：$c_{i,0}$ 和 $c_{i,1}$ 不能都取。
求取出的数的最小和。

比赛时我想到这里就进展不下去了。

转化后的问题的解法

对于任意一个合法的取数方案，如果不是最优解，则必然存在 $i, j$ 满足：

1. $c_{i,0}, c_{j,1}$ 在所取的数中，且
2. $c_{i,0} + c_{j,1} > c_{i,1} + c_{j,0}$ 。

第二个条件可化为
$c_{i,1} - c_{i,0} < c_{j,1} - c_{j,0}$

这样便得出这个问题的解法：

将下标 $1, 2,\dots,i,\dots, n$ 按 $c_{i,1} - c_{i,0} $ 从小到大排序，对前 $n/2$ 个下标取 $c_{i,1}$，对后 $n/2$ 个下标取 $c_{i,0}$ 。

题解上解法

统计输入的 $n$ 个数中平方数和非平方数的个数，分别记做 $c_0, c_1$。
若 $c_0 = c_1$ 则无需改变。
若 $c_0 > c_1$ 则需要把 $(c_0 - c_1)/2$ 个平方数变成非平方数。对于非零的平方数，加 1 即可，零则须加 2 。所以，优先改变非零的平方数。
若 $c_0 < c_1$ 则需把 $(c_0 - c_1)/2 $ 个非平方数变成平方数。