hihoCoder #1758 加减

$\DeclareMathOperator{\lowbit}{lowbit}$

题目大意

对于一个数 $x$，设它最低位的 1 是第 $i$ 位，则 $\lowbit(x)=2i$ 。

例如 $\lowbit(5)=1$，$\lowbit(12)=4$ 。

定义对 $x$的一次变换为：有 50% 的概率变成 $x+\lowbit(x)$，有 50% 的概率变成 $x-\lowbit(x)$ 。

定义 $f(x)$ 为对 $x$ 不停变换，变换到 0 的期望变换次数。

给定 $L, R$（$0\le L \le R < 2^{31}$），求 $\sum\limits_{x=L}^{R} f(x)$ 。

答案对 $998244353$ 取模。

分析

题解是 DP，但是我没看懂。我想到的一种记忆化（memoization）递归求解的方法，能 AC，但是我搞不清楚这种方法的复杂度。

令
\[ S(n) = \sum_{i=0}^{n} = f(i) \]

则我们有

\[
\begin{aligned}
f(0) &= S(0) = 0 \\
f(1) &= S(1) = 2 \\
S(2n) &= S(n) + n + \frac{S(n) + S(n-1)}{2} \\
S(2n+1) &= S(n) + n+1 + \frac{S(n+1) + S(n)}{2}
\end{aligned}
\]

根据 $S(n)$ 的递推式，是否可以猜测 $S(n)$ 关于 $n$ 是线性增长的呢？

这个问题是很值得研究的。

记忆化递归（recursion with memoization）