机器学习： Linear Discriminant Analysis 线性判别分析

Linear discriminant analysis (LDA) 线性判别分析也是机器学习中常用的一种降维算法，与 PCA 相比，

LDA 是属于supervised 的一种降维算法。PCA考虑的是整个数据集在高维空间的分散性，PCA降维之后依然要让数据在低维空间尽可能地分散。而LDA考虑的是类与类之间的差别(用距离来衡量)。

我们考虑两类情况下的LDA，

给定一个训练集 D={xi∈Rd},i=1,2,...N, 假设其中有 n1 个属于第一类 c1，n2 个属于第二类c2，N=n1+n2， LDA 希望可以找到一个投影关系，使得原来的特征向量 xi 投影到低维空间之后，类间的距离尽可能地大，而类内距离尽可能地小。

我们可以计算每一类的均值向量：

u1=1n1∑x∈c1xu2=1n2∑x∈c2x

假设投影为 w，投影后为 y, 那么 y=wTx, 我们也可以求出投影后的均值：

v1=1n1∑y∈c1y=1n1∑x∈c1wTx=wTu1

v2=1n2∑y∈c2y=1n2∑x∈c2wTx=wTu2

那么，我们可以设立如下的目标函数：

J=|v1−v2|=|wTu1−wTu2|

上面的目标函数，保证了映射之后类间距离尽可能大，但是无法保证类内距离尽可能小，为了让类内距离尽可能小，我们可以进一步定义：

s21=∑y∈c1(y−v1)2

s22=∑y∈c2(y−v2)2

s21,s22 可以用来度量映射后每一类与类中心的分散程度。所以，最终的目标函数是：

J=|v1−v2|2s21+s22

我们可以定义投影前的向量 x 与类中心的分散程度：

Si=∑x∈ci(x−ui)(x−ui)T

SW=S1+S2

我们可以看到:

s2i=∑y∈ci(y−vi)2=∑x∈ci(wTx−wTui)2=wTSiw

s21+s22=wTSWw

同样的，我们有:

(v1−v2)2=(wTu1−wTu2)2=wT(u1−u2)(u1−u2)Tw=wTSBw

SB=(u1−u2)(u1−u2)T

所以最终的目标函数是：

J(w)=wTSBwwTSWw

最终得到的投影w⋆:

w⋆=argmax[wTSBwwTSWw]=S−1W(u1−u2)

对于多类的LDA, 我们不能简单地将原来的向量 x 投影到一个标量y，我们需要投影到一个低维的向量 y 上。一个有C类的训练集 D={x∈Rd} 含有N 个样本, N=∑ni. 我们需要找到一个投影矩阵W, 使得 y=WTx。

我们可以先定义

Sw=∑i=1cSiSi=∑x∈ci(x−ui)(x−ui)T

SB=∑i=1cNi(ui−u)(ui−u)Tu=1N∑x

那么目标函数可以写成:

J(W)=|WTSBW||WTSWW|

最后的投影矩阵可以表示为: W=[w1,w2,...wk], 其中 wi 满足如下关系:

SBwi=λiSWwi→S−1WSBwi=λiwi

wi 是矩阵 S−1WSB 的特征向量, 所以简单来说，可以先对矩阵 S−1WSB 做特征值分解，然后取前 k 个大的特征值所对应的特征向量，组成投影矩阵。但是由于 S_{B} 的秩不会超过 c−1，所以 k 最大也就是 c−1，取前面k 个特征向量组成投影矩阵。对于两类的情况, c=2, k=1, 所以两类的情况下，LDA投影得到的是一个标量。