HDU5381【莫队算法+区间GCD特性】

前言：

主要最近在刷莫队的题，这题GCD的特性让我对莫队的使用也有了新的想法。给福利：神犇的一套莫队算法题

先撇开题目，光说裸的一个莫队算法，主要的复杂度就是n*sqrt(n)对吧，这里我忽略了一个左端点(增加/删除)或者右端点(增加/删除)的所带来的复杂度，

之前也遇到过卡这里的复杂度，但是是因为简单的long long计算多而造成了复杂度增大，从而转变一下。

回到这道题：给出区间，求所有子区间的gcd和。

思路：

莫队算法+gcd的特性。

外面就是套了一个莫队，排序然后离散化操作优化了复杂度得n*sqrt(n)。

然后呢？我们要去计算一个右结点的增加或删除的贡献。

先预处理所有区间之间的gcd，利用ST表。

在这里：当一个右端点的删除/增加

问题就是：如何快速求所有存在这个右端的子区间的GCD的贡献。

这里利用的是区间gcd的特性，一段区间上不同的gcd最多只有logn个。

对于右端点：

预处理右端点固定，不同gcd的区间段的GCD（直接枚举，更新位置，由于一段区间GCD的gcd个数不会超过logn，所以最多会预处理logn段不同的gcd段），并且预处理右端固定的不同gcd段的最远位置（用二分就行，因为GCD会随着区间大而变小，当前区间最小即最大），所以每次查询时间要乘以logn;

对于左端点同理；

总的复杂度：O(n*sqrt(n)*log(n))。

代码还有一些简要注释可以参考。

这个代码打不出来...就多打打！练手！23333333333

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
const int N=1e4+10;
int a[N],n,m;
vector<PII>VL[N];
vector<PII>VR[N];
int pos[N];
struct asd{
    int left,right,id;
    LL res;
};
asd S[N];
bool cmp(asd x,asd y)
{
    if(pos[x.left]==pos[y.left]) return x.right<y.right;
    return pos[x.left]<pos[y.left];
}

//RMQ预处理，以某个端点为起点向一个方向延伸的区间的gcd的最远延伸的方向和对应的gcd
//Rmq[i][j]表示第 i 个数起，连续 2^j 个数的GCD;
int Rmq[N][15];
void GetRmq()
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
        Rmq[i][0]=a[i];
    for(int i=1; (1<<i)<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
            if(j+(1<<i)-1<=n)
                Rmq[j][i]=__gcd(Rmq[j][i-1],Rmq[j+(1<<(i-1))][i-1]);
}
int query(int L, int R)
{
    int k=(int)log2(R-L+1);
    return __gcd(Rmq[L][k],Rmq[R-(1<<k)+1][k]);
}
//固定s为右端点，向左延伸gcd为t的最远位置
int Rsearch(int s,int L,int R,int t)
{
    int ans;
    while(L<=R)
    {
        int mid=(L+R)>>1;
        if(query(mid,s)==t)
        {
            ans=mid;
            R=mid-1;
        }
        else L=mid+1;
    }
    return ans;
}
//固定s为左端点，向右延伸gcd为t的最远位置
int Lsearch(int s,int L,int R,int t)
{
    int ans;
    while(L<=R)
    {
        int mid=(L+R)>>1;
        if(query(s,mid)==t)
        {
            ans=mid;
            L=mid+1;
        }
        else R=mid-1;
    }
    return ans;
}
//计算s为右端点的贡献，t 为当前区间左端点
LL Rcal(int s,int t)
{
    LL ans=0;
    int ss=s;
    for(int i=0;i<VR[s].size();i++)
    {
        ans+=(1LL*(ss-max(t,VR[s][i].second)+1)*VR[s][i].first);
        ss=VR[s][i].second-1;
        if(ss<t) break;
    }
    return ans;
}
//计算s为左端点的贡献，t 为当前区间右端点
LL Lcal(int s,int t)
{
    LL ans=0;
    int ss=s;
    for(int i=0;i<VL[s].size();i++)
    {
        ans+=(1LL*(min(t,VL[s][i].second)-ss+1)*VL[s][i].first);
        ss=VL[s][i].second+1;
        if(ss>t) break;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        int block=(int)sqrt(n);
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            pos[i]=(i-1)/block+1;
        }
        GetRmq();

        //预处理左端 i 固定的不同gcd区间段
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int r=i;
            VL[i].clear();
            while(r<=n)
            {
                int ant=query(i,r);
                r=Lsearch(i,r,n,ant);
                VL[i].push_back(make_pair(ant,r));
                r++;
            }
        }
         //预处理右端 i 固定的不同gcd区间段
        for(int i=n;i>=1;i--)
        {
            int l=i;
            VR[i].clear();
            while(l>=1)
            {
                int ant=query(l,i);
                l=Rsearch(i,1,l,ant);
                VR[i].push_back(make_pair(ant,l));
                l--;
            }
        }
        scanf("%d",&m);
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&S[i].left,&S[i].right);
            S[i].id=i;
        }
        sort(S,S+m,cmp);
        LL sum=0;
        int l=0,r=1;
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            while(r<=S[i].right)
            {
                sum+=Rcal(r,l+1);
                r++;
            }
            while(r>S[i].right+1)
            {
                r--;
                sum-=Rcal(r,l+1);
            }
            while(l<S[i].left-1)
            {
                l++;
                sum-=Lcal(l,r-1);
            }
            while(l>=S[i].left)
            {
                sum+=Lcal(l,r-1);
                l--;
            }
            S[S[i].id].res=sum;
        }
        for(int i=0;i<m;i++)
            printf("%lld\n",S[i].res);
    }
    return 0;
}