【算法模板】Binary Search 二分查找

模板：（通用模板，推荐）

　　给定一个排序的整数数组（升序）和一个要查找的整数target，用O(logn)的时间查找到target第一次出现的下标（从0开始），如果target不存在于数组中，返回-1。

int binarySearch(vector<int> &array, int target) {
        if (array.size() == ) {
            return -;
        }

        int start = ;
        int end = array.size() - ;
        int mid;

        while (start +  < end) {
            mid = start + (end - start) / ;
            if (array[mid] == target) {
                end = mid;
            } else if (array[mid] < target){
                start = mid;
            } else if (array[mid] > target) {
                end = mid;
            }
        }

        if (array[start] == target) {
            return start;
        } else if (array[end] == target) {
            return end;
        }

        return -;
    }

　　若将条件改为查找target最后一次出现的下标（从0开始），那么程序将发生改变，循环中如果 array[mid] = target, 则 start = mid; 且最后的边界判断改为先判断

array[end] == target; 其他不变。

int binarySearch(vector<int> &array, int target) {
        if (array.size() == ) {
            return -;
        }

        int start = ;
        int end = array.size() - ;
        int mid;

        while (start +  < end) {
            mid = start + (end - start) / ;
            if (array[mid] <= target) {
                start = mid;
            } else {
                end = mid;
            }
        }

        if (array[end] == target) {
            return end;
        }
        if (array[start] == target) {
            return start;
        }

        return -;
    }

解析：

　　已排序很重要，而且排序是降序还是升序写法也不一样。

　　写程序先写异常处理，这里对应的是数组为空的情况。

　　start 和 end 分别初始化为 0 和 array.size() - 1。

　　取中值使用 mid = start + (end - start) / 2; 目的是为了防止 start + end 的值超出int范围发生溢出错误。

　　循环停止条件为 start < end-1;没有等号，如果取等号，那么有可能进入死循环，如：start = 1； end = 2； 那么 mid = 1；那么此时如果令 start = mid，程序将进入死循环。

　　循环停止时肯定有 start + 1 == end；或者数组元素只有一个，也就是说 start 和 end 要么相邻（数组元素个数大于1），要么相交（数组元素个数为1），那么都可以归结为最后的判断语句，根据题目的要求（第一次出现还是最后一次出现）确定判断顺序。　

模板 2：(不推荐)

　　模板 1 是start == end - 1 时停止循环，下面给出另一种处理，即 start == end时停止循环。

First pos

int binarySearch(vector<int> &array, int target) {
        if (array.size() == ) {
            return -;
        }

        int start = ;
        int end = array.size() - ;
        int mid;

        while (start < end) {
            mid = start + (end - start) / ;
            if (array[mid] < target) {
                start = mid + ;
            } else if (array[mid] > target) {
                end = mid - ;
            } else {
                end = mid;
            }
        }

        if (array[end] == target) {
            return end;
        }

        return -;
    }

Last pos

　　按照模板 1 的逻辑，写成下面这样（这是错误的！！！）

int binarySearchLast(vector<int> &array, int target) {
        if (array.size() == ) {
            return -;
        }

        int start = ;
        int end = array.size() - ;
        int mid;

        while (start < end) {
            mid = start + (end - start) / ;
            if (array[mid] < target) {
                start = mid + ;
            } else if (array[mid] > target) {
                end = mid - ;
            } else {
                start = mid;
            }
        }

        if (array[start] == target) {
            return start;
        }

        return -;
    }

　　看上去逻辑好像很对，但是有一个很严重的错误，那就是有可能会进入死循环：如 start 和 end 指向 1 和 1 且 start = end； 那么此时 mid = start；start = end；相当于start 始终不会变，关键就在于循环条件的判断。那么为什么会造成这个原因呢？仔细想一想就会知道，问题出在求 mid 上，对 2 取模， 2 和 3 的结果是一样的，就是说两个数相邻，那么这两个数的“中值”（mid = start + （end - start）/ 2）始终是第一个，如果程序循环中需要移动候选区间，就有可能造成死循环。就像模板2 中求第一个位置就不会发生死循环，因为移动的是end，除非 start = end，否则 end 是 不会等于mid 的，相反，在求最后一个位置是，若循环条件允许start + 1 == end，那么当需要移动 start 时，就有可能遇到 start 一直等于 mid 的情况， 故不推荐此循环判断方案， 采用模板一的方案，在 start + 1 == end时停止循环，然后根据需要决定 start 和 end 的判断顺序 。当然也可以用模板二的循环方案，只是一定要避免发生死循环的情况。

Last pos (正确的解法)

int binarySearchLast(vector<int> &array, int target) {
        if (array.size() == ) {
            return -;
        }

        int start = ;
        int end = array.size() - ;
        int mid;

        while (start < end - ) {
            mid = start + (end - start) / ;
            if (array[mid] < target) {
                start = mid + ;
            } else if (array[mid] > target) {
                end = mid - ;
            } else {
                start = mid;
            }
        }

        if (array[end] == target) {
            return end;
        }
        if (array[start] == target) {
            return start;
        }

        return -;
    }