2016北京集训测试赛（六）Problem A: 冒泡排序

Solution

观察冒泡排序的过程. 我们注意到, 每一轮的排序都会使得每个数后面比它小的数的个数减\(1\). 我们用\(f(n, m)\)表示对\(1\)到\(n\)的一个排列进行冒泡排序, 满足在不超过\(m\)轮内完成的排列数量. 易知

\[f(n, m) = \begin{cases} m! \\ m! (m + 1)^{n - m} \end{cases}
\]

我们再用\(g(n, m)\)表示对\(n\)个数的排列进行冒泡排序, 使得排序过程恰好\(m\)轮完成的排列数量, 则有\(g(n, m) = f(n, m) - f(n, m - 1)\). 我们可以预处理出对于给定的\(m\)的这两个函数的值, 通过这两个函数逐位确定序列的形态.

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#include <cctype>
#include <cstring>

const int N = 20;
inline long long power(int a, int x)
{
    long long res = 1;
    for(; x; a *= a, x >>= 1) if(x & 1) res *= a;
    return res;
}
inline long long frac(int a)
{
    long long res = 1;
    for(; a; -- a) res *= a;
    return res;
}
int main()
{
    int n, m;
    long long rk;
    scanf("%d%d%lld", &n, &m, &rk);
    static long long f[N + 1], g[N + 1];
    for(int i = 0; i <= n; ++ i) f[i] = i < m ? frac(i) : frac(m) * power(m + 1, i - m);
    for(int i = 0; i <= n; ++ i) g[i] = f[i] - (i < m - 1 ? frac(i) : frac(m - 1) * power(m, i - m + 1));
    static int a[N];
    int flg = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        for(int j = 1; j <= n - i + 1; ++ j)
        {
            long long cur;
            if(flg || j == m + 1) cur = f[n - i]; else cur = g[n - i];
            if(cur >= rk)
            {
                a[i] = j;
                if(j == m + 1) flg = 1;
                break;
            }
            rk -= cur;
        }
    }
    static int rec[N + 1];
    memset(rec, 0, sizeof(rec));
    for(int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        int cnt = 0;
        for(int j = 1; j <= n; ++ j)
        {
            if(rec[j] == 0) ++ cnt;
            if(cnt == a[i])
            {
                printf("%d ", j);
                rec[j] = 1;
                break;
            }
        }
    }
}