「PKUSC2018」最大前缀和

题面

题解

可以想到枚举成为最大前缀和的一部分的数

设\(sum_i=\sum\limits_{j\in i}a[j]\)

设\(f_i\)表示满足\(i\)的最大前缀和等于\(sum_i\)的方案数

转移：对于\(\forall k\notin i, sum_i > 0\)

则有

\[f_{i\cup\{k\}} \gets f_i
\]

原理：我们考虑倒着插入数字，如果存在后缀\(sum_{suf} > 0\)就可以直接转移

设\(g_i\)表示满足\(i\)的所有前缀和都\(\leq 0\)的方案数

转移：对于\(\forall k \notin i, sum_{i\cup\{k\}} \leq 0\)

则有

\[g_{i\cup \{k\}} \gets g_i
\]

\[\therefore ans = \sum_i sum_i f_i g_{\complement_S i}
\]

其中\(\complement_S i\)表示\(i\)的补集

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define RG register
#define file(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define clear(x, y) memset(x, y, sizeof(x))

inline int read()
{
	int data = 0, w = 1; char ch = getchar();
	while(ch != '-' && (!isdigit(ch))) ch = getchar();
	if(ch == '-') w = -1, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return data * w;
}

const int N(21), Mod(998244353);
int n, a[1 << N], sum[1 << N];
int f[1 << N], g[1 << N], S, ans;

int main()
{
	S = 1 << (n = read()), g[0] = 1;
	for(RG int i = 0; i < n; i++) a[1 << i] = read();
	for(RG int i = 0; i < S; i++) sum[i] = sum[i ^ (i & -i)] + a[i & -i];
	for(RG int i = 0; i < S; i++) if(sum[i] <= 0)
		for(RG int j = 0; j < n; j++) if((i >> j) & 1)
			g[i] = (g[i] + g[i ^ (1 << j)]) % Mod;
	for(RG int i = 0; i < n; i++) f[1 << i] = 1;
	for(RG int i = 0; i < S; i++)
	{
		if(sum[i] > 0) for(RG int j = 0; j < n; j++) if(!((i >> j) & 1))
			f[i | (1 << j)] = (f[i | (1 << j)] + f[i]) % Mod;
		ans = (ans + 1ll * (sum[i] + Mod) * f[i] % Mod
				* g[(S - 1) ^ i] % Mod) % Mod;
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}