【集训】练习题 uria

Description

求有多少组正整数对 \((a, b)\) 满足

1. \(a + b ≤ n\)
2. \(a + b | ab\)

\(n ≤ 10^14\)

Solution

这题有点绕啊

设 \(gcd(a,b)=d\)，\(a=a'd\)，\(b=b'd\)

对于第二个式子：\((a'+b')d | a'b'd^2\)，所以 \(a'+b' | a'b'd\)

然后因为已经提出来了一个 \(d\) ， 所以\(gcd(a',b')=1\) 即 \(a'\bot b'\)

所以 \(gcd(a'+b',a')=gcd(a'+b',b')=gcd(a',b')=1\)（模拟exgcd的过程）

意思就是 \(a'\) 和 \(b'\) 均不包含 \(a'+b'\) 的任意因数，所以 \(a'b'\) 也肯定不整除 \(a'+b'\)

所以 \(a'+b' | d\)

那么有了这个时候，对于第一个式子：\((a'+b')d \leq n\)，而 \(a'+b' | d\) ，所以 \(a'+b' \leq \sqrt n\)

然后我们设 \(t=a'+b'\)，从 \(2\) 到 \(\sqrt n\) 枚举，每次算 \(t\) 固定后每个 \(t\) 的贡献

1. 固定了 \(t\) 后，就要找 \(d\) 有多少种取值
   
   设 \(d=mt\)，\(d\) 有多少种取值就是 \(m\) 有多少种取值
   
   看第一个式子，代进去，\(t^2m\leq n\)，所以只要 \(m\leq \frac{n}{t^2}\)，就都可以
   
   所以 \(m\) 共有 \(\lfloor \frac{n}{t^2}\rfloor\) 种取值，所以 \(d\) 有 \(\lfloor \frac{n}{t^2}\rfloor\) 种取值
2. 再看固定了 \(t\) 后，把 \(t\) 分解成互质的 \(a'\) 和 \(b'\) 有多少种方案
   
   我们要求有多少 \(a'\) 和 \(b'\) ，\(a'+b'=t\)，\(a'\bot b'\)
   
   因为\(gcd(a',b')=1\)，所以\(gcd(a',t-a')=1\)，根据更相减损术，\(gcd(a',t)=1\)，\(a'\)有多少取值，分解 \(a'\) 和 \(b'\) 就有多少方案
   
   而 \(a'\) 的取值方案就是 \(\phi (t)\)了

所以最后的答案就是\(ans=\sum_{i=2}^{\sqrt n}\lfloor \frac{n}{i^2}\rfloor\phi (i)\)

预处理后枚举求和

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
const int MAXN=10000000+10;
int cnt,vis[MAXN],prime[MAXN];
ll phi[MAXN],n,res;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char c='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(c!='\0')putchar(c);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void init()
{
	memset(vis,1,sizeof(vis));
	vis[0]=vis[1]=0;
	phi[1]=1;
	for(register int i=2;i<MAXN;++i)
	{
		if(vis[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(register int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<MAXN;++j)
		{
			vis[i*prime[j]]=0;
			if(i%prime[j])phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
			else
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	init();
	read(n);
	for(register ll i=2,limit=sqrt(n);i<=limit;++i)res+=(n/(i*i))*phi[i];
	write(res,'\n');
	return 0;
}