二叉树的遍历——Morris

在之前的博客中，博主讨论过二叉树的经典遍历算法，包括递归和常规非递归算法，其时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。Morris算法巧妙地利用了二叉树的线索化思路，将二叉树的遍历算法的空间复杂度降低为O(1)，时间复杂度仍然为O(n)。关于该算法的讨论在网上有很多，例如：http://www.cnblogs.com/AnnieKim/archive/2013/06/15/morristraversal.html，在这里，博主且讲讲自己的理解。各位看官可以结合本随笔和上面的帖子来加深对于Morris算法的理解。

1. 中序遍历

　　分析：中序遍历的基本顺序为leftTree， root，rightTree，而我们总是先接触到root节点，然后再接触leftTree和rightTree，用stack可以很方便地保存已接触到的节点，但这里却不能用！只能再考虑其他思路。这里，我们抓住中序遍历的本质：要想访问root节点，必须先访问其leftTree。但如果不借助stack，在访问了leftTree之后，又如何能再次访问root呢？二叉树的线索化就给了我们一个很好的思路。我们知道，二叉树中节点的空白指针有2n-(n-1)=n+1个，这便是一个可以利用的极好条件。

　　从图中可以看出，我们可以在leftTree中找到root节点在中序遍历下的前驱节点pre，将该前驱节点pre的右指针指向root节点，那么，下次在访问完leftTree之后，便能通过前驱节点pre回到root节点。由此，便能不间断访问完全部节点。以下见算法：

 1 void inOrderTraverse(TreeNode *root){//Morris
 2   TreeNode *cur = root;
 3   TreeNode *pre = nullptr;
 4   while(cur){
 5     if(cur->left){
 6       pre = cur->left;
 7       while(pre->right && pre->right != cur){
 8         pre = pre->right;
 9       }
10       if(!pre->right){//first touch
11         pre->right = cur;//connect root
12         cur = cur->left;
13       }else{//second touch
14         pre->right = nullptr;//disconnect root
15         visit(cur);
16         cur = cur->right;
17       }
18     }else{
19       visit(cur);
20       cur = cur->right;
21     }
22   }
23 }

2. 前序遍历

　　前序遍历的思路和中序遍历的思路完全相似，只是访问时机的不同。在前序遍历中，root节点需要先访问到，然后再访问其leftTree和rightTree。如图：

 1 void preOrderTraverse(TreeNode *root){//Morris
 2   TreeNode *cur = root;
 3   TreeNode *pre = nullptr;
 4   while(cur){
 5     if(cur->left){
 6       pre = cur->left;
 7       while(pre->right && pre->right != cur){
 8         pre = pre->right;
 9       }
10       if(!pre->right){//first touch
11         pre->right = cur;
12         visit(cur);//visit root
13         cur = cur->left;
14       }else{
15         pre->right = nullptr;
16         cur = cur->right;
17       }
18     }else{
19       visit(cur);//visit root
20       cur = cur->right;
21     }
22   }
23 }

3. 后续遍历

　　分析：在之前讨论二叉树的非递归后续遍历算法中，由于后续遍历（leftTree，rightTree， root）算法的独特性，root节点需要最后才能被访问。因此，如果先将rightTree的最后访问节点指向root，实现线索，那么leftTree将不好处理，因为leftTree要先于rightTree访问。因此，需要稍微调整一下思路。同样，利用上诉线索化的思路来改造原算法。先上图：

　　在了解完前序和中序遍历思路后，上图应该是很好懂的。F节点为root节点的前驱节点，第一次访问时需要将其right指针指向root节点，第二次时重新置空。在上图中，对于后续遍历，访问顺序为A->B->C->D->E->F->rightTree->root(无需区分节点和子树)。那么，思路便开始清晰起来，对于leftTree，先访问A，B，C，再从root节点的前驱节点pre逆向访问再root节点的左节点，便能正常实现逆序访问，这也是正是后续遍历的正确访问顺序。要实现从前驱节点pre到root->left的逆序访问，需要一点额外的操作，先将D->F视为单链表逆转，然后访问，最后再次逆转还原即可。最后，对于root节点和rightTee，需要增加一个额外的伪root节点，来实现和(root，leftTree）相同的结构，即（preRoot，tree）。以下见代码： 

 1 void reverseRightTreePath(TreeNode *from, TreeNode *to){
 2   TreeNode *temp = nullptr;
 3   TreeNode *next = from->right;
 4   from->right = nullptr;
 5   while(from != to){
 6     temp = next->right;
 7     next->right = from;
 8     from = next;
 9     next = temp;
10   }
11 }
12 void visitReverseRightTreePath(TreeNode *from, TreeNode *to){
13   reverseRightTreePath(from, to);
14   TreeNode *temp = to;
15   while(temp != from){
16     visit(temp);
17     temp = temp->right;
18   }
19   visit(temp);
20   reverseRightTreePath(to, from);
21 }
22 void postOrderTraverse(TreeNode *root){
23   TreeNode *preRoot = new TreeNode(0);
24   preRoot->left = root;
25   TreeNode *cur = preRoot;
26   TreeNode *pre = nullptr;
27
28   while(cur){
29     if(cur->left){
30       pre = cur->left;
31       while(pre->right && pre->right != cur){
32         pre = pre->right;
33       }
34       if(!pre->right){
35         pre->right = cur;
36         cur = cur->left;
37       }else{
38         visitReverseRightTreePath(cur->left, pre);//Only visit in the second touch
39         pre->right = nullptr;
40         cur = cur->right;
41       }
42     }else{
43       cur = cur->right;
44     }
45   }
46 }