谱聚类(Spectral clustering)(1):RatioCut
作者:桂。
时间:2017-04-13 19:14:48
链接:http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6702174.html
声明:本文大部分内容来自:刘建平Pinard博客的内容。
前言
之前对非负矩阵分解(NMF)简单梳理了一下,总觉得NMF与聚类非常相似,像是谱聚类的思想。在此将谱聚类的知识梳理一下,内容无法转载,不然直接转载刘建平Pinard的博文了,常用的谱聚类有RatioCut和Ncut算法,全文主要梳理RatioCut算法:
1)背景知识;
2)理论推导;
3)应用实例
内容为自己的学习记录,其中参考他人的部分,最后一并给出链接。
一、背景知识
关于图的基本概念,以及常用到的拉普拉斯矩阵,之前已经有博文介绍过。直接从图的分割说起:
A-邻接矩阵
邻接矩阵的构造方法,常用的有KNN、全连接等方法,这里仅以全连接中的高斯核为例:
$W_{ij}=S_{ij}=exp(-\frac{||x_i-x_j||_2^2}{2\sigma^2})$
B-无向图切图
对于无向图$G$的切图,我们的目标是将图$G(V,E)$切成相互没有连接的k个子图,每个子图点的集合为:$A_1,A_2,..A_k$它们满足$A_i \cap A_j = \emptyset$,且$A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k = V$。
对于任意两个子图点的集合$A, B \subset V$,$A \cap B = \emptyset$,我们定义A和B之间的切图权重为:
$W(A, B) = \sum\limits_{i \in A, j \in B}w_{ij}$
那么对于我们k个子图点的集合:$A_1,A_2,..A_k$,我们定义切图cut为:
$cut(A_1,A_2,...A_k) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{k}W(A_i, \overline{A}_i )$
其中$\overline{A}_i$为${A}_i$的补集。
那么如何切图可以让子图内的点权重和高,子图间的点权重和低呢?一个自然的想法就是最小化$cut(A_1,A_2,...A_k)$,但是可以发现,这种极小化的切图存在问题,如下图:
找到类似图中"Best Cut"这样的最优切图呢?一个自然的想法就是,类似为了防止过拟合而添加正则项一样,可以添加新的限定,这就是谱聚类的思想。
二、理论推导(RatioCut)
定义$|A_i|$: = 子集$A_i$中点的个数。现在对每个切图,不光考虑最小化$cut(A_1,A_2,...A_k)$,它还同时考虑最大化每个子图点的个数,即:
$RatioCut(A_1,A_2,...A_k) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{W(A_i, \overline{A}_i )}{|A_i|}$
那么怎么最小化这个RatioCut函数呢?牛人们发现,RatioCut函数可以通过如下方式表示。
我们引入指示向量$h_j =\{h_1, h_2,..h_k\}\; j =1,2,...k$,对于任意一个向量$h_j$它是一个n维向量(n为样本数),我们定义$h_{ji}$为:
$h_{ji}= \begin{cases} 0& { v_i \notin A_j}\\ \frac{1}{\sqrt{|A_j|}}& { v_i \in A_j} \end{cases}$
借助拉普拉斯矩阵特性,我们对于$h_i^TLh_i$有:
可以看出,对于某一个子图i,它的RatioCut对应于$h_i^TLh_i$,那么我们的k个子图呢?对应的RatioCut函数表达式为:
注意到$H^TH=I$,优化函数转化为:
因为每一个h的取值有两种可能,因此该准则函数需要k*2n种H,这是一个NP难问题。
如果对条件适当放松呢?比如这样:
h不再看作只有两种取值的离散变量,而是具有连续取值的变量。
这样一来,上面的优化函数就可以对h利用拉格朗日乘子法进行求解。这种求解方法是瑞利熵求解的一类,关于瑞利熵前文有介绍。因为这里放宽了h的限定,使得h从离散量变为连续量,如何与之前的对应呢?最简单的办法就是看求解的h离h原始的两个取值,哪个更近,对应的就算做哪一类。离哪个更近?没错,这正是Kmeans的思想,故后处理也可以用调Kmeans来完成。Kmeans之前,通常将求解的h每一列分别归一化。
至此完成了RatioCut的步骤。
三、代码实现
首先根据上文的理论分析,给出RatioCut的算法步骤:
步骤一:求解拉普拉斯矩阵L
步骤二:对L进行特征值分解,并取K个最小特征值对应的特征向量(K为类别数目)
步骤三:将求解的K个特征向量(并分别归一化),构成新的矩阵,对该矩阵进行Kmeans处理
Kmeans得到的类别标签,就是原数据的类别标签,至此完成RatioCut聚类。
给出对应代码:
sigma2 = 0.002;
%%Step1: Calculate Laplace matrix
for i = 1:N
for j =1:N
W(i,j) = exp(-sqrt(sum((X(i,:)-X(j,:)).^2))/2/sigma2);
end
end
W = W-diag(diag(W));% adjacency matrix
D = diag(sum(W)); %degree matrix
L = D-W;%laplace matrix
%%Step2:Eigenvalues decomposition
K = 3;
[Qini,V] = eig(L);
%%Step3:New matrix Q
[~,pos] = sort(diag(V),'ascend');
Q = Qini(:,pos(1:K));
Q = Q./repmat(sqrt(diag(Q'*Q)'),N,1);
[idx,ctrs] = kmeans(Q,K);
测试一下,按数据为3类进行谱聚类,可以看出来还是有效的,谱聚类中高斯权重涉及到$\sigma$如何取值,不过这里就不做进一步讨论了。
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