[COCI2009]Dvapravca 计算几何

[COCI2009]Dvapravca

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先给出考场上的\(O(n^3)\)乱搞方法：枚举一个蓝点和一个红点，找出过着两个点的直线，再枚举蓝点找出这条直线最多能往两边扩展多宽，最后枚举红点计算贡献。

注意在确定一条直线能往两边扩展多宽时不要求点到直线的距离，否则常数会太大，只要求竖直方向的距离就可以了。正确性显然，具体看代码。

现在有个重要的问题，求大佬来解决：如果直接这样写会被卡到65到70分，但是如果把蓝点和红点按\(x\)为第一关键字\(y\)为第二关键字从小到大排个序，就能得到90至100分（考试时用的评测机能跑到90分，洛谷神机上能切）。然而我不会证明这样究竟优化在哪里，求大佬证明。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define R register
#define I inline
#define D double
using namespace std;
const int N=1003,inf=0x3f3f3f3f;
struct V{int x,y;}r[N],b[N];
struct L{D k,b;}f;
I int operator<(V a,V b){return a.x^b.x?a.x<b.x:a.y<b.y;}
I D min(D x,D y){return x<y?x:y;}
I int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
I L lin(V a,V b){
    if(a.x==b.x)
        return (L){inf,0};
    D k=(D)(b.y-a.y)/(b.x-a.x);
    return (L){k,(D)a.y-k*a.x};
}
I D dst(V a){return f.k*a.x+f.b-a.y;}
int main(){
    R int n,x,y,i,j,t,p=0,q=0,g,h,o=0;
    R char c[2];
    D d,u,v;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d%d%s",&x,&y,c);
        if(c[0]=='R')
            r[++p]=(V){x,y};
        else
            b[++q]=(V){x,y};
    }
    sort(b+1,b+q+1),sort(r+1,r+p+1);//就是这里，不加会慢很多
    for(i=1;i<=q;++i)
        for(j=1;j<=p;++j){
            f=lin(b[i],r[j]),u=v=inf,g=h=1;
            for(t=1;t<=q;++t)
                if(t^i)
                    if((d=dst(b[t]))>0)
                        u=min(u,d);
                    else
                        v=min(v,-d);
            for(t=1;t<=p;++t)
                if(t^j)
                    if((d=dst(r[t]))>0)
                        g+=d<u;
                    else
                        h+=-d<v;
            o=max(o,max(g,h));
        }
    printf("%d",o);
    return 0;
}

亲测如果没加sort应该是过不了的，xzz大神仙尝试把坐标系随机旋转了一下，变得更快了。所以这道题告诉我们一个经验：碰见不会的计算几何题，先随机旋转坐标系，再把点排一遍序，打起暴力更有自信！

还是放一下正解\(O(n^2 log n)\)的做法吧。考虑如果要求直线垂直于\(x\)轴，那么如果把点按刚才所说的排一遍序，要求的就是序列上连续的最长的\(1\)的个数（如果把红色视作\(1\)）。由于直线可以倾斜，考虑旋转坐标系，当某两个点连线的斜率与当前\(y\)轴在原坐标系中的斜率相等时，这两个点在序列上的位置就会交换，这下可以用线段树来维护，由于最多交换\(O(n^2)\)次顺序，复杂度是\(O(n^2 log n)\)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define R register
#define I inline
#define D double
using namespace std;
const int N=1003,M=1000003,S=4003;
int f[N],n;
struct T{int f,l,r,d;}e[S];
struct V{int x,y,c;}p[N];
struct L{D k; int x,y;}q[M];
I int operator<(V a,V b){return a.x^b.x?a.x<b.x:a.y<b.y;}
I int operator<(L a,L b){return a.k>b.k;}
I int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
I T operator+(T x,T y){
	T z;
	z.f=max(x.r+y.l,max(x.f,y.f)),z.d=x.d+y.d;
	if(x.l==x.d)
		z.l=x.d+y.l;
	else
		z.l=x.l;
	if(y.r==y.d)
		z.r=x.r+y.d;
	else
		z.r=y.r;
	return z;
}
I void swp(int&x,int&y){x^=y,y^=x,x^=y;}
I void upd(int k,int v){e[k]=(T){v,v,v,1};}
I void bld(int k,int l,int r){
	if(l==r){
		upd(k,p[l].c);
		return ;
	}
	R int p=k<<1,q=p|1,m=l+r>>1;
	bld(p,l,m),bld(q,m+1,r),e[k]=e[p]+e[q];
}
void mdf(int k,int l,int r,int x,int v){
	if(l==r){
		upd(k,v);
		return ;
	}
	R int p=k<<1,q=p|1,m=l+r>>1;
	if(x<=m)
		mdf(p,l,m,x,v);
	else
		mdf(q,m+1,r,x,v);
	e[k]=e[p]+e[q];
}
int main(){
	R int i,j,x,y,t=0,o;
	R char c[2];
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d%d%s",&x,&y,c);
		if(c[0]=='R')
			p[i]=(V){x,y,1};
		else
			p[i]=(V){x,y,0};
	}
	sort(p+1,p+n+1);
	for(i=1;i<=n;++i)
		f[i]=i;
	for(i=1;i<n;++i)
		for(j=i+1;j<=n;++j)
			q[++t]=(L){(D)(p[j].y-p[i].y)/(p[j].x-p[i].x),i,j};
	sort(q+1,q+t+1),bld(1,1,n),o=e[1].f;
	for(i=1;i<=t;++i){
		x=f[q[i].x],y=f[q[i].y],swp(f[q[i].x],f[q[i].y]);
		if(p[x].c^p[y].c)
			swp(p[x].c,p[y].c),mdf(1,1,n,x,p[x].c),mdf(1,1,n,y,p[y].c),o=max(o,e[1].f);
	}
	printf("%d",o);
	return 0;
}