[POI2002][HAOI2007]反素数 数论 搜索 好题

题目描述：

对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。

如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。

现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？

题解：

显然，我们要求的是 $[1,N]$ 中约数个数最多且该数字最小的值。

根据约数个数公式：$ans=(p_{1}+1)(p_{2}+1)(p_{3}+1)...$，其中 $p_{i}$ 为第 $i$ 个素因子的幂次。

所以我们只需枚举素因子以及素因子的幂次即可。

考虑搜索：

我们有几个剪枝条件：

1.幂次肯定递减（这个自己想想就能明白）
2.我们一般只会用到前30个素数（这个就靠猜测了）
3.由于 $N<=2e9$，我们最多只会用到 12 个左右的不同数字相乘。

根据这些剪枝条件，我们进行搜索即可。

Code:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int prime[]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,51,53};
ll n, maxn;
int cur;
void dfs(int dep,ll m,int t,int p){  //上一个指数
	if(dep==12){
		if(t>=cur){
			if(t>cur) maxn=m, cur=t;
			else if(m<maxn) maxn=m;
		}
		return;
	}
	ll cnt=1;
	for(int i=0;i<=p;++i){
		dfs(dep+1,m*cnt,t*(i+1),i);
		cnt*=prime[dep];
		if(m*cnt>n) break;
	}
}
int main(){
	//freopen("input.in","r",stdin);
	scanf("%lld",&n);
	dfs(1,1,1,30);
	printf("%lld",maxn);
	return 0;
}