Codeforces Round #460 (Div. 2) E. Congruence Equation （CRT+数论）

题目链接：

http://codeforces.com/problemset/problem/919/E

题意：

让你求满足 \(na^n\equiv b \pmod p\) 的 \(n\) 的个数。

\(2 ≤ p ≤ 10^{6} + 3, 1 ≤ a, b < p, 1 ≤ x ≤ 10^{12}\).

题解：

因为：

$n \mod p $的循环节是 \(p\)

\(a^{n} \mod p\)的循环节是 \(p-1\)。(费马小定理)

所以： \(na^n \mod p​\)的循环节为 \(p*(p-1)\)。

因为 \(p\)是质数。

假设: \(n \mod p \equiv i, a^n\mod p\equiv a^j\).

\(a^n \mod p \equiv i\) ----①

$a^n\mod p\equiv a^j $ ----②

\(na^n\equiv b \pmod p\) ----③

可以得到： \(i \times a^j \equiv b \pmod p\).

我们现在枚举的\(a^n\) 中的 \(n\) 为 \(j\) , 满足 \(n \times a^n\ mod\ p\ = \ b\) 的 \(n\) 为 \(i\).

列出同余方程：

$i \equiv b*a^{-j} \pmod p $ ---①

\(i\equiv j \pmod {p-1}\) ---②

利用 \(CRT\) 可以解出 ：\(i=(p-1)^2ba^{-j}+pj\) ，其中 \(a^{-j}\) 是$ a^{j}$ 在 $\mod p $意义下的逆元。

因为在所有 \(<=x\) 的 \(i\) 的倍数都满足条件，除法统计一下即可。

复杂度：\(O(p*logp)\)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll qpower(ll a,ll b, ll mod)
{
  ll ans = 1;
  while(b){
    if(b&1) ans = ans * a % mod;
    b>>=1;
    a=a*a%mod;
  }
  return ans;
}
ll a,b,mod,x;
int main(int argc, char const *argv[]) {
  std::cin >> a >> b >> mod >> x;
  ll ans = 0;
  for(int i = 1;i <= mod-1;i++) {
    ll  c = qpower( qpower(a, i , mod) , mod - 2, mod) * b % mod;
    ll  n = ((mod-1) * (mod-1) * c + mod * i) % (mod * (mod-1));
    ans += ( x / (mod * (mod-1)) ) + (x % (mod * (mod-1)) >= n );
  }
  std::cout << ans << '\n';
  return 0;
}