CF1383E 题解

题意

传送门

给定一个长度为 \(n\) 的 01 串 \(a\)。在一次操作中，你可以选择任意一个 \(i\in[1,|a|)\)，令 \(a_i=\max(a_i,a_{i+1})\)，然后将 \(a_{i+1}\) 删除。你可以进行不超过 \(n-1\) 次操作，问一共能得到多少种 01 串，答案对 \(10^9+7\) 取模。

\(1\le n\le 10^6\)。

题解

若对操作的序列计数，此题难以处理。我们通过一些转换，对可以得到的串计数。

利用 \(1\) 将串划分，记录每段 \(0\) 的数量。如 \(001010011\) 就是 \(\{2,1,2,0,0\}\)。那么可行的操作就是将一个大于 \(0\) 的数减 \(1\)，或删除一个不在头尾的 \(0\)。于是一个串与一个序列一一对应。下面我们对序列计数。

头尾不删，则可以扔掉，最后乘上系数 \((a_{1}+1)(a_n+1)\)。此时可知一个长为 \(m\) 的序列 \(b\) 可行的充要条件：存在 \(i_1<i_2<\dots<i_m\) 满足 \(\forall j\in[1,m],b_j\le a_{i_j}\)。用类似子序列自动机的方式判断。每次向后找到第一个大于等于 \(b_j\) 的位置并移动指针。

然后可以 \(\text{dp}\)。设 \(f_i\) 表示指针在 \(i\)，每次枚举下一个放的数。则有 \(f_i=\sum\limits_{j<i}f_j+\max(0,a_i-\max\limits_{k=j+1}^{i-1}a_k)\)。单调栈可做到 \(O(n)\)。