LeetCode-798 得分最高的最小论调 及差分和前缀和的学习

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/smallest-rotation-with-highest-score

题目描述

给你一个数组 nums，我们可以将它按一个非负整数 k 进行轮调，这样可以使数组变为 [nums[k], nums[k + 1], ... nums[nums.length - 1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]] 的形式。此后，任何值小于或等于其索引的项都可以记作一分。

例如，数组为 nums = [2,4,1,3,0]，我们按 k = 2 进行轮调后，它将变成 [1,3,0,2,4]。这将记为 3 分，因为 1 > 0 [不计分]、3 > 1 [不计分]、0 <= 2 [计 1 分]、2 <= 3 [计 1 分]，4 <= 4 [计 1 分]。
在所有可能的轮调中，返回我们所能得到的最高分数对应的轮调下标 k 。如果有多个答案，返回满足条件的最小的下标 k 。

示例 1：

输入：nums = [2,3,1,4,0]
输出：3
解释：
下面列出了每个 k 的得分：
k = 0, nums = [2,3,1,4,0], score 2
k = 1, nums = [3,1,4,0,2], score 3
k = 2, nums = [1,4,0,2,3], score 3
k = 3, nums = [4,0,2,3,1], score 4
k = 4, nums = [0,2,3,1,4], score 3
所以我们应当选择 k = 3，得分最高。
示例 2：

输入：nums = [1,3,0,2,4]
输出：0
解释：
nums 无论怎么变化总是有 3 分。
所以我们将选择最小的 k，即 0。

提示：

1 <= nums.length <= 10⁵
0 <= nums[i] < nums.length

解题思路

根据题目最容易想到的是暴力法，尝试用暴力法做，将每个k下的nums数组求出来，统计所有得分，时间复杂度为O(n²)，不出所料超时了。

根据题意寻找规律，可以得出结论，每次k加1后，下标会-1，这个时候，原来比下标小的数会继续得分，下标比原来大的数会继续不得分，下标与原来相同的数，会从得分变成失分，下标为0的那个数，下标从0变成了n-1，会变得得分，那么递推公式就可以表示为Val_i= Val_i-1 - Count_下标相同 + 1，只需要初始时候找到最初的val，找到k时候与k下标相同的元素数目，就可以通过一次遍历将所有的得分求出来，时间复杂度为O(n)。这里注意每一个元素必然有且只有一个k使得其下标与元素值相同，所以对于每一个元素值，可以直接找到使得其下标与元素值相同的k，时间复杂度为O(n).

本题还可以通过上下界和差分的方法来做，假设原坐标为i，那么修改后的坐标应该满足0 <= i - k <= n -1 可以推出，k的取值范围为[i - n + 1, i]，又从得分条件来说得到 i - k >= x，及k <= i - x，因为x取值范围是[0, n)，所以k的取值范围[a ,b]为[i - n + 1, i - x]，但是由于存在上下界会出现负数，需要取模为正，所以k的上下界可能出现 a > b的情况，这个时候，可得分的k范围应该为[0, i - n + 1],[i - x, n - 1]。那么，对于i 来说，k在区间[a,b]将会得分，所以可以有一个数组sk来记录每个k的得分情况，遍历每个i将对应区间的k分数分别+1，最终得分最高的k就是最终的解，但是如果这样做的话，时间复杂度仍然为O(n²)。可以使用前缀和+差分的思想，由于是区间修改，所以可以记录sk的一个差分数组diff，diff[i] = sk[i] - sk[i - 1],那么区间[a, b]范围内同时+1的情况，可以将diff[a] +=1, diff[b + 1] -= 1，便可以得到与sk在[a,b]范围内均+1的记录效果，在计算完成后，计算diff的[0, i]前缀和就是sk[i]的结果。

代码展示

暴力法：

class Solution {
public:
    int bestRotation(vector<int>& nums) {
        int iRet = 0, iMax = 0, n = nums.size();
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            nums[i] -= i;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            if (nums[i] <= 0)
            {
                iMax++;
            }
        }
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            int iCount = 0;
            for(int j = 0; j < n; j++)
            {
                if(j == i - 1)
                {
                    nums[j] = nums[j] - n + 1;
                }
                else
                {
                    nums[j] = nums[j] + 1;
                }
                if(nums[j] <= 0)
                {
                    iCount++;
                }
            }
            if(iCount > iMax)
            {
                iMax = iCount;
                iRet = i;
            }
        }
        return iRet;
    }
};

找规律DP

class Solution {
public:
    int bestRotation(vector<int>& nums) {
        int iRet = 0, iMax = 0, n = nums.size(), iVal = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            if(nums[i] <= i)
            {
                iMax++;
            }
        }
        vector<int> steps(n, 0);
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            if(i - nums[i] >= 0)
            {
                steps[i - nums[i]]++;
            }
            else
            {
                steps[i - nums[i] + n]++;
            }
        }
        iVal = iMax;
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            iVal = iVal - steps[i - 1] + 1;
            if(iVal > iMax)
            {
                iMax = iVal;
                iRet = i;
            }
        }
        return iRet;
    }
};

上下界+差分数组

class Solution {
public:
    int bestRotation(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> diff(n, 0);
        int iRet = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            int a = ((n - i + 1) + n) % n;
            int b = ((i - nums[i]) + n) % n;
            if(a <= b)
            {
                diff[a] += 1;
                if (b + 1 < n)
                {
                    diff[b + 1] -= 1;
                }
            }
            else
            {
                diff[0] += 1;
                diff[b + 1] -= 1;
                diff[a] += 1;
            }
        }
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            diff[i] += diff[i - 1];
        }
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            if(diff[iRet] < diff[i])
            {
                iRet = i;
            }
        }
        return iRet;

    }
};

运行结果