abc285h题解

考虑容斥，强制要求\(k\)个数为完全平方数，系数为\((-1)^k*C_n^k\)（因为我们要从\(n\)个数选出\(k\)个数作为完全平方数）。则在唯一分解\(p_1^{e_1}...p_n^{e_n}\)中，\(e_1...e_n\)都必须是偶数。

对于每个质因数分开考虑，答案是每个质因数的答案的乘积。

一个没有要求的数的OGF是\(\frac{1}{1-x}\)，一个被钦定为完全平方数的数的OGF是\(\frac{1}{1-x^2}\)

我们要求\(F(x)\frac{1}{(1-x)^{n-k}}\frac{1}{(1-x^2)^{k}}[x^{e_{1...n}}]\)，可以把\(\frac{1}{(1-x)^{n-k}}\frac{1}{(1-x^2)^{k}}\)展开后求

这显然会超时，因为一次展开的时间复杂度是\(O(\max(e_i)^2)\)，总时间复杂度是\(O(\max(e_i)^3)\)

注意到\(k\)到\(k+1\)我们只需要把\(F(x)\)乘以\(1-x\)，再除以\(1-x^2\)，就可以在\(O(\max(e_i))\)的时间内更新多项式。

\(k=0\)的多项式是\(\frac{1}{(1-x)^n}\)，显然可以\(O(\max(e_i))\)求

这样子就可以把总时间复杂度降低到\(O(\max(e_i)^2)\)。