[论文阅读] 颜色迁移-Correlated Color Space

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文章: Color transfer in correlated color space, [paper], [matlab code], [opencv code]

1-算法原理

本文算法比较简单, 其原理是把原始图像本身的空间分布进行归一化, 然后通过旋转平移缩放等变换, 变换到目标图像的空间分布, 如下所示:

\[I = T_t \cdot R_t \cdot S_t \cdot S_t \cdot S_s \cdot R_s \cdot T_s \cdot I_s \tag{1}
\]

T表示平移, R表示旋转, S表示缩放. 下标t表示目标图像, 下标s表示原始图像, 文中的原始公式存在问题, 我这里进行了调整.

因而本文就是寻找这个变换矩阵, 使用的方法是使用SVD分解(关于SVD算法, 可以戳这里: 奇异值分解（SVD） - 知乎 (zhihu.com).)

\[Cov = U \cdot \Lambda \cdot V^T
\]

具体地, 本文算法步骤为:

1. 计算图像每个颜色通道的均值, 及图像的协方差矩阵
2. 对协方差矩阵进行SVD分解
3. 构建变换需要的矩阵
4. 使用公式对图像进行颜色迁移

2-算法核心

对于n维颜色空间, 为了方便处理, 可以调整为n+1维的齐次坐标标示. 对于本文, 使用的是RGB 3维颜色空间, 齐次坐标维4维的.

对于上述几个变换矩阵, 平移矩阵T很容易想到, 可以使用各颜色通道的均值来表示. 但对于旋转矩阵R和缩放矩阵S就需要用到SVD分解矩阵的性质了: \(U\) 表示旋转, \(\Lambda\) 表示缩放拉伸.

因而所需变换矩阵如下:

\[\Lambda = diag(\lambda^{c1}, \lambda^{c2}, \lambda^{c3})
\]

\[T_s =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -m_s^{c1} \\
0 & 1 & 0 & -m_s^{c2} \\
0 & 0 & 1 & -m_s^{c3} \\
0 & 0 & 0 &1
\end{pmatrix} ,
T_t =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & m_t^{c1} \\
0 & 1 & 0 & m_t^{c2} \\
0 & 0 & 1 & m_t^{c3} \\
0 & 0 & 0 &1
\end{pmatrix}
\]

\[R_s = U_s^{-1}, R_t = U_t
\]

\[S_s =
\begin{pmatrix}
1/s_s^{c1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1/s_s^{c2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1/s_s^{c3} & 0 \\
0 & 0 & 0 &1
\end{pmatrix} ,
S_t =
\begin{pmatrix}
s_t^{c1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & s_t^{c2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & s_t^{c3} & 0 \\
0 & 0 & 0 &1
\end{pmatrix} ,
\]

式中, ci表示颜色通道, \(s^{ci}=\sqrt{\lambda^{ci}}\). 这里取了根号, 如果不取根号是不是也可以???

本文算法是对3个通道一起处理, 如果每个通道单独处理, 上述公式可以等效为:

\[C^i = \frac{\sigma_t^{i}}{\sigma_s^{i}}(C_s^{i} - \mu_s^{i}) + \mu_t^{i}
\]

式中, i表示通道.

3-算法效果

如下所示为文中给出的一组结果:

4-补充说明

作者在自己给出的matlab代码中指出了本文算法存在的一个问题, 我们先来看看实际的情况, 如下所示为一组图像的测试结果.

可以看到, 结果出现了异常. 作者给出的分析是:

• SVD生成的\(\Lambda\) 矩阵中对角线上的值, 是由特征值从大到小排列的, 源图像和目标图像的这个排列可能不匹配
• 如源图像排列为c1, c2, c3, 目标图像排列为c2, c1, c3
• 即使排列相同, 它们的方向可能相反, 如目标图像排列为c1, -c2, c3

针对这个问题, 作者代码实现中给出了解决方案, 进行列匹配(matchColumns):

1. 对旋转矩阵\(U_t\) 的所有列进行排列组合, 与\(U_s\) 对应的列求点积和
2. 找到和最大的一个组合为最优匹配
3. 根据组合中坐标轴的顺序, 对\(\Lambda_t\) 的顺序进行调整, 同时调整方向

下面是调整后的结果: