【容斥、插值】P3270 [JLOI2016]成绩比较

题目简述

有 $n+1$ 个人，进行 $m$ 场考试，第 $i$ 场考试的可能得分是 $[0,U_i]$ 之间的整数。

假设你是其中一人，你知道每场考试的排名 $r_i$（相同分数算后排名），并且恰有 $k$ 个人每一场考试的分数都不大于你。

求方案数，对 $10^9+7$ 取模。

$n,m\leq 100$，$U_i\leq10^9$。

解题思路

很显然的计数分为三个部分：

确定被你碾压的 $k$ 人。
确定每个人和你分数的大小关系。
确定每个人的分数。

对于第 $1$ 部分，显然是 $C_n^k$。

对于第 $2$ 部分，我们可以通过排名确定出每场比赛 $i$ 有多少人分数 $\leq $ 你，多少人分数 $>$ 你。那么由于已经确定出 $k$ 个被碾压的人了，所以这 $k$ 个人的分数 $\leq $ 你，我们的问题转换成在剩下的人当中去分配 $R_i$ 使得每个人至少有一个 $>$ 你的分数。很显然的可以使用容斥。

由于 $k$ 个被碾压者已经确定，记剩下的人 $N=n-k$，假设有：

\[f_i=\prod_{j=1}^m C^{r_j-1}_{i}
\]

表示有至多 $i$ 个人被你碾压，很显然的容斥为：

\[ans=\sum_{i=0}^N (-1)^{N-i}\times f_i\times C_{N}^i
\]

对于第三部分，每一场考试是独立的，我们可以写出式子：

\[\sum_{k=0}^{U_i} k^{n-r_i+1}\times (U_i-k)^{r_i-1}
\]

我们不难发现原式改写成 $\sum_{k=0}^{x} k^{n-r_i+1}\times (U_i-k)^{r_i-1}$ 是关于 $x$ 的 $n+1$ 次多项式，所以我们对于 $\leq n+2$ 的值暴力枚举，然后使用插值求出 $x=U_i$ 的值即可。

暴力拉格朗日的复杂度 $O(n^2\log V)$，可以通过。我们也可以优化到 $O(n\log n)$ 的拉格朗日。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

#define MP make_pair

const int MAXN=105;

const int MOD=1e9+7;

int n,m,k;

int x[MAXN],r[MAXN];

ll fac[MAXN],inf[MAXN];

ll ksm(ll a,int b){ll res=1;while(b){if(b&1)res=res*a%MOD;a=a*a%MOD,b>>=1;}return res;}

ll inv(ll a){return ksm(a,MOD-2);}

void init(){

	fac[0]=inf[0]=1;

	for(int i=1;i<MAXN;i++)

		fac[i]=fac[i-1]*i%MOD,

		inf[i]=inv(fac[i]);

	return;

}

ll C(int n,int m){if(n>m) return 0;return fac[m]*inf[n]%MOD*inf[m-n]%MOD;}

ll sgn(int x){return (x&1)?-1:1;}

ll Part_2(){

	ll f[MAXN];

	for(int i=0;i<=n;i++){

		f[i]=1;

		for(int j=1;j<=m;j++)

			f[i]=f[i]*C(r[j]-1,i)%MOD;

	}

	ll res=0;

	int d=n-k;

	for(int i=0;i<=d;i++)

		res=(res+sgn(d-i)*f[i]%MOD*C(i,d)%MOD+MOD)%MOD;

	return res;

}

ll Func(ll x,int a,int b){

	ll y[MAXN],res=0;

	for(int i=1;i<=n+2;i++){

		res+=ksm(i,a)*ksm(x-i+MOD,b)%MOD;

		res%=MOD;

		y[i]=res;

	}

	ll ans=0;

	for(int i=1;i<=n+2;i++){

		res=y[i];

		for(int j=1;j<=n+2;j++)

			if(i!=j)

				res=res*(x-j+MOD)%MOD*inv(i-j+MOD)%MOD;

		ans+=res;ans%=MOD;

	}

	return ans;

}

int main(){

	ios::sync_with_stdio(false);

	init();

	cin>>n>>m>>k;n--;

	for(int i=1;i<=m;i++)

		cin>>x[i];

	for(int i=1;i<=m;i++)

		cin>>r[i];

	ll ans=C(k,n)*Part_2()%MOD;

	for(int i=1;i<=m;i++)

		ans=ans*Func(x[i],n-r[i]+1,r[i]-1)%MOD;

	cout<<ans;

	return 0;

}