代码随想录算法训练营Day28 回溯算法 | 491.递增子序列 46.全排列 47.全排列 II

代码随想录算法训练营

491.递增子序列

题目链接:491.递增子序列

给定一个整型数组, 你的任务是找到所有该数组的递增子序列，递增子序列的长度至少是2。

示例:

• 输入: [4, 6, 7, 7]
• 输出:[[4, 6], [4, 7], [4, 6, 7], [4, 6, 7, 7], [6, 7], [6, 7, 7], [7,7], [4,7,7]]

总体思路

由于是递增子序列，这个递增子序列比较像是取有序的子集。而且本题也要求不能有相同的递增子序列。本题求自增子序列，是不能对原数组进行排序的，排完序的数组都是自增子序列了。

所以不能使用之前的去重逻辑！

本题给出的示例，还是一个有序数组 [4, 6, 7, 7]，这更容易误导大家按照排序的思路去做了。

为了有鲜明的对比，我用[4, 7, 6, 7]这个数组来举例，抽象为树形结构如图：

回溯三部曲

• 确定递归函数的参数
  
  本题求子序列，很明显一个元素不能重复使用，所以需要startIndex，调整下一层递归的起始位置。

vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex)

• 确定递归终止条件
  
  本题其实类似求子集问题，也是要遍历树形结构找每一个节点，所以和回溯算法：求子集问题！一样，可以不加终止条件，startIndex每次都会加1，并不会无限递归。
  
  但本题收集结果有所不同，题目要求递增子序列大小至少为2，所以代码如下：

if (path.size() > 1) {
    result.push_back(path);
    // 注意这里不要加return，因为要取树上的所有节点
}

• 确定递归具体函数
  
  
  
  在图中可以看出，同一父节点下的同层上使用过的元素就不能再使用了
  
  单层搜索函数：

unordered_set<int> uset; // 使用set来对本层元素进行去重
for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
    if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
            || uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
            continue;
    }
    uset.insert(nums[i]); // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
    path.push_back(nums[i]);
    backtracking(nums, i + 1);
    path.pop_back();
}

对于已经习惯写回溯的同学，看到递归函数上面的uset.insert(nums[i]);，下面却没有对应的pop之类的操作，应该很不习惯吧，哈哈

这也是需要注意的点，unordered_set<int> uset; 是记录本层元素是否重复使用，新的一层uset都会重新定义（清空），所以要知道uset只负责本层！

整体代码实现：

// 版本一
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {
        if (path.size() > 1) {
            result.push_back(path);
            // 注意这里不要加return，要取树上的节点
        }
        unordered_set<int> uset; // 使用set对本层元素进行去重
        for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
            if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
                    || uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
                    continue;
            }
            uset.insert(nums[i]); // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }
};

46.全排列

题目链接:46.全排列

给定一个 没有重复 数字的序列，返回其所有可能的全排列。

示例:

• 输入: [1,2,3]
• 输出: [ [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], [3,2,1] ]

总体思路

相信这个排列问题就算是让你用for循环暴力把结果搜索出来，这个暴力也不是很好写。

所以正如我们在关于回溯算法，你该了解这些！所讲的为什么回溯法是暴力搜索，效率这么低，还要用它？

因为一些问题能暴力搜出来就已经很不错了！

回溯三部曲

• 确定递归参数
  
  首先排列是有序的，也就是说 [1,2] 和 [2,1] 是两个集合，这和之前分析的子集以及组合所不同的地方。
  
  可以看出元素1在[1,2]中已经使用过了，但是在[2,1]中还要在使用一次1，所以处理排列问题就不用使用startIndex了。
  
  但排列问题需要一个used数组，标记已经选择的元素，如图橘黄色部分所示:
  
  
  
  代码实现：

vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking (vector<int>& nums, vector<bool>& used)

• 确定递归终止条件
  
  可以看出叶子节点，就是收割结果的地方。
  
  那么什么时候，算是到达叶子节点呢？
  
  当收集元素的数组path的大小达到和nums数组一样大的时候，说明找到了一个全排列，也表示到达了叶子节点。

// 此时说明找到了一组
if (path.size() == nums.size()) {
    result.push_back(path);
    return;
}

• 确定每一层具体函数
  
  这里和77.组合问题、131.切割问题和78.子集问题最大的不同就是for循环里不用startIndex了。
  
  因为排列问题，每次都要从头开始搜索，例如元素1在[1,2]中已经使用过了，但是在[2,1]中还要再使用一次1.
  
  而used数组，其实就是记录此时path里都有哪些元素使用了，一个排列里一个元素只能使用一次。
  
  代码如下：

for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    if (used[i] == true) continue; // path里已经收录的元素，直接跳过
    used[i] = true;
    path.push_back(nums[i]);
    backtracking(nums, used);
    path.pop_back();
    used[i] = false;
}

总体代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking (vector<int>& nums, vector<bool>& used) {
        // 此时说明找到了一组
        if (path.size() == nums.size()) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            if (used[i] == true) continue; // path里已经收录的元素，直接跳过
            used[i] = true;
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, used);
            path.pop_back();
            used[i] = false;
        }
    }
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        vector<bool> used(nums.size(), false);
        backtracking(nums, used);
        return result;
    }
};

47.全排列 II

题目链接:47.全排列 II

给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。

示例 1：

• 输入：nums = [1,1,2]
• 输出:[[1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]]

总体思路

由于可以按任意顺序返回不重复的全排列，是将上两题进行合并，需要设计到去重。

排列问题其实也是一样的套路。

还要强调的是去重一定要对元素进行排序，这样我们才方便通过相邻的节点来判断是否重复使用了。

我以示例中的 [1,1,2]为例 （为了方便举例，已经排序）抽象为一棵树，去重过程如图：



图中我们对同一树层，前一位（也就是nums[i-1]）如果使用过，那么就进行去重。

一般来说：组合问题和排列问题是在树形结构的叶子节点上收集结果，而子集问题就是取树上所有节点的结果。

在46.全排列中已经详细讲解了排列问题的写法，在40.组合总和II 、90.子集II中详细讲解了去重的写法，所以这次我就不用回溯三部曲分析了，直接给出代码，如下：

总体代码为：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking (vector<int>& nums, vector<bool>& used) {
        // 此时说明找到了一组
        if (path.size() == nums.size()) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            // used[i - 1] == true，说明同一树枝nums[i - 1]使用过
            // used[i - 1] == false，说明同一树层nums[i - 1]使用过
            // 如果同一树层nums[i - 1]使用过则直接跳过
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
                continue;
            }
            if (used[i] == false) {
                used[i] = true;
                path.push_back(nums[i]);
                backtracking(nums, used);
                path.pop_back();
                used[i] = false;
            }
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        sort(nums.begin(), nums.end()); // 排序
        vector<bool> used(nums.size(), false);
        backtracking(nums, used);
        return result;
    }
};

彩蛋

491.递增子序列

采用递归函数

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void findSubsequences(vector<int>& nums, vector<vector<int>>& result, vector<int>& subsequence, int startIndex) {
    if (subsequence.size() > 1) {
        result.push_back(subsequence);
    }
    if (startIndex >= nums.size()) {
        return;
    }
    int lastElement = -1;
    for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
        if (lastElement == nums[i]) {
            continue;
        }
        if (subsequence.empty() || nums[i] >= subsequence.back()) {
            subsequence.push_back(nums[i]);
            findSubsequences(nums, result, subsequence, i + 1);
            subsequence.pop_back();
            lastElement = nums[i];
        }
    }
}

vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> subsequence;
    findSubsequences(nums, result, subsequence, 0);
    return result;
}

int main() {
    vector<int> nums = {4, 6, 7, 7};
    vector<vector<int>> result = findSubsequences(nums);
    for (auto& subsequence : result) {
        cout << "[";
        for (int i = 0; i < subsequence.size(); i++) {
            cout << subsequence[i];
            if (i < subsequence.size() - 1) {
                cout << ", ";
            }
        }
        cout << "]" << endl;
    }
    return 0;
}

该程序中使用了递归的方法，对于给定数组中的每个元素，分别判断它是否可以加入当前正在构建的递增子序列中。如果可以加入，就递归地继续往后找，直到找到所有可能的递增子序列。注意，为了避免重复，程序在处理相同元素时进行了特判。

使用回溯算法时：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void backtrack(vector<int>& nums, vector<vector<int>>& res, vector<int>& temp, int start) {
    if (temp.size() > 1) {
        res.push_back(temp);
    }
    for (int i = start; i < nums.size(); i++) {
        if (temp.empty() || nums[i] >= temp.back()) {
            temp.push_back(nums[i]);
            backtrack(nums, res, temp, i + 1);
            temp.pop_back();
        }
    }
}

vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
    vector<vector<int>> res;
    vector<int> temp;
    backtrack(nums, res, temp, 0);
    return res;
}

int main() {
    vector<int> nums = {4, 6, 7, 7};
    vector<vector<int>> res = findSubsequences(nums);
    for (auto& subsequence : res) {
        cout << "[";
        for (int i = 0; i < subsequence.size(); i++) {
            cout << subsequence[i];
            if (i < subsequence.size() - 1) {
                cout << ", ";
            }
        }
        cout << "]" << endl;
    }
    return 0;
}

该程序中，backtrack 函数用于遍历所有可能的递增子序列。temp 向量保存当前正在构建的递增子序列，start 参数表示本次递归搜索的起点。在每一层递归中，程序依次将 start 到 nums 末尾的元素加入 temp 中，如果 temp 的长度大于等于 2，就将它加入 res 中。然后程序继续递归处理下一个元素，最后回溯，将加入的元素从 temp 中删除，回到上一层递归中的状态。注意，这里也是为了避免重复，所以在处理相同元素时进行了特判。