CCF 202012-5星际旅行（20~100分）

前置知识

线段树：通过懒惰标记，可实现区间处理，和区间询问皆为\(O(logn)\)时间复杂度的数据结构，是一种二叉树。因此对于一个节点\(st\)，其左儿子节点为\(st*2\)，右节点为\(st*2+1\)，为方便整洁，代码中使用宏定义\(ls(st<<1)\)和\(rs(st<<1|1)\)。

离散化：将无法通过开数组标记的大数据变为小数据的一种手段。

分析

\(20\)分攻略

算法：模拟

由于\(n,m\leq 1000\)，此时\(O(nm)\)的算法是允许的，所以对于每一种操作用循环模拟即可。

\(40\)分攻略

算法 ：差分+树状数组 \(OR\) 线段树+懒惰标记\(*1\)

\(n\leq 100000,m\leq 40000\)，且只包含\(1,4\)操作。需要使用时间复杂度带\(log\)的算法，使用数据结构树状数组+差分或者线段树+懒惰标记即可。

线段树传递懒惰标记时，要乘以区间长度。由于有三维，所以开三个线段树即可，时间复杂度\(O(mlogn)\)。

struct node {
    int lazS, lazM, sum;
} t[3][maxn << 3];

\(60\)分攻略

算法：线段树+懒惰标记\(*2\)

\(n\leq 100000,m\leq 40000\)，且只包含\(1,2,4\)操作。同样需要使用时间复杂度带\(log\)的算法，但是此时有两种操作，树状数组不能应用于如此复杂的情况。

使用线段树时，需要考虑两个懒惰标记相互的影响。设加法懒惰标记为\(lazS\)，乘法懒惰标记为\(lazM\)。由于标记的实际含义是保留左节点和右节点的未操作信息，所以懒惰标记下传时，由乘法分配律，\(lazS\)要乘以\(lazM\)，这样可以保证在\(lazS\)下传的时候，不会丢失\(lazM\)的信息。

考虑标记下传时是先进行乘法操作还是先进行加法操作。

• 若是先进行加法操作，会出现将乘法操作后的新的加法标记同时乘上乘法标记。
• 若是先进行乘法操作，将乘法操作先作用于原有的和上，然后再将加法操作作用上去即可。

#define ls st<<1
#define rs st<<1|1
void push_down(int st);
t[i][ls].sum = ((t[i][ls].sum * t[i][st].lazM) % mod + t[i][st].lazS * len[ls]) % mod;//先进行乘法操作，再进行加法操作
t[i][rs].sum = ((t[i][rs].sum * t[i][st].lazM) % mod + t[i][st].lazS * len[rs]) % mod;//先进行乘法操作，再进行加法操作
t[i][ls].lazS = ((t[i][ls].lazS * t[i][st].lazM) % mod + t[i][st].lazS) % mod;//注意加法标记要先做乘法，再做加法
t[i][rs].lazS = ((t[i][rs].lazS * t[i][st].lazM) % mod + t[i][st].lazS) % mod;//注意加法标记要先做乘法，再做加法
t[i][ls].lazM = t[i][ls].lazM * t[i][st].lazM % mod;//乘法标记直接操作即可
t[i][rs].lazM = t[i][rs].lazM * t[i][st].lazM % mod;//乘法标记直接操作即可
t[i][st].lazM = 1;//清除懒惰标记
t[i][st].lazS = 0;//清除懒惰标记

时间复杂度\(O(mlogn)\)，此时题目为洛谷\(P3372\)。

\(80\)分攻略

算法：线段树+懒惰标记\(*3\)

\(n\leq 100000\)，引入转换操作，同样需要使用时间复杂度带\(log\)的算法。

首先先考虑没有\(1,2\)操作时应该如何做，注意到每次操作由原来的\(x,y,z\)变为\(y,z,x\)相当于原来的三维元素向左平移一维，那么如果向左平移三次，就相当于没有平移，所以转换的转移标记\(lazS\)进行\(\%3\)操作即可。

再考虑有\(1,2\)操作时应该如何做，注意到加法乘法其实和转换操作没有关系，所以只需要考虑数字运算（加法和乘法）和转换运算这两种运算是如何相互影响的。

再次考虑懒惰标记的实际含义，是将左节点和右节点尚未处理的信息保存起来，那么转换时也需将保存的信息同时转换。

if (lazC[rt] == 1) {//向左平移一维
    node x = t[0][st], y = t[1][st], z = t[2][st];
    t[0][st] = y;
    t[1][st] = z;
    t[2][st] = x;
} else if (lazC[rt] == 2) {//向左平移两维
    node x = t[0][st], y = t[1][st], z = t[2][st];
    t[0][st] = z;
    t[1][st] = x;
    t[2][st] = y;
}

再考虑是先进行转换运算还是先进行数字运算，当操作子节点的时候，父节点已经进行了转换，所以为了让父节点的标记操作能够对应上子节点的标记，所以要先进行转换，再进行数字运算。

\(100\)分攻略

算法：线段树+懒惰标记\(*3\)+区间离散化

\(n≤1,000,000,000\)，原有线段树空间复杂度为\(O(n)\)，但现在这个数据范围不支持这个复杂度，考虑离散化。

注意到\(m\leq 40000\)，那么操作的区间个数最多为\(40000\)个，端点最多为\(80000\)个，那么离散化后进行操作空间复杂度为\(O(m)\)，注意到线段树开点应开总端点的\(4\)倍，所以总共需要开\(8m\)个点，即为\(m<<3\)。

使用区间离散化的技巧，将原有的\([L,R]\)区间变为\([L,R+1)\)，这样满足区间可加性，举个反例体会下这个操作的必要性。

提供三个操作\([1,4],[1,1],[4,4]\)，直接离散化后，区间为\([1,2],[1,1],[2,2]\)，后两个操作合并等于第一个操作，而原有操作中的端点\(2\)和\(3\)丢失了。而转换为左闭右开区间后，区间为\([1,5),[1,2),[4,5)\)，离散化后为\([1,4),[1,2),[3,4)\)，此时信息并未丢失，保存每一个区间的长度\(len[maxn << 3]\)即可。

原线段树的叶子节点理解为每一个端点，离散化区间后的叶子节点可以理解为以第\(i\)个端点为开头的左闭右开区间。比如说上述转换区间后为\([1,5),[1,2),[4,5)\)，那么叶子节点会变为\([1,2),[2,4),[4,5)\)，一共出现过\(4\)个不同的区间端点，显然最右边的端点不需要保存信息，所以一共有三个叶子节点，第\(1\)个叶子节点表示以\(1\)开头的左闭右开区间，第\(2\)个叶子节点表示以\(2\)为开头的左闭右开区间，第\(3\)个叶子节点表示以\(4\)为开头的左闭右开区间（代码中最后一个端点也有一个节点，长度为0）。

考虑操作，考虑第一个操作\([1,5)\)（注意离散化后区间为\([1,4)\)），他需要的是\(5\)之前的端点的操作，即要操作\(1,2,4\)（离散化后为\(1,2,3\)）开头的区间，那么由于线段树保留的是以第\(i\)个端点为开头的左闭右开区间，所以操作时要将离散化后的右端点\(4\)减一再进行操作。

#include <bits/stdc++.h>

#define start ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ll long long
#define int ll
#define ls st<<1//左子树，st*2
#define rs st<<1|1//右子树，st*2+1
using namespace std;
const int maxn = (ll) 4e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
int T = 1;
vector<int> v;
struct node {
    int lazS, lazM, sum;
} t[3][maxn << 3];
int lazC[maxn << 3];
int len[maxn << 3];
int q[maxn][6];

void build(int st, int l, int r) {
    for (int i = 0; i <= 2; ++i)t[i][st].lazM = 1;
    /*
     * 最右区间长度为0
     * 由于保留左闭右开区间，所以长度为v[l + 1] - v[l]
     */
    if (l == r) {
        if (l == v.size() - 1)
            len[st] = 0;
        else
            len[st] = v[l + 1] - v[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(ls, l, mid);
    build(rs, mid + 1, r);
    len[st] = len[ls] + len[rs];
}

void change(int rt, int st) {
    if (lazC[rt] == 1) {//向左平移一维
        node x = t[0][st], y = t[1][st], z = t[2][st];
        t[0][st] = y;
        t[1][st] = z;
        t[2][st] = x;
    } else if (lazC[rt] == 2) {//向左平移两维
        node x = t[0][st], y = t[1][st], z = t[2][st];
        t[0][st] = z;
        t[1][st] = x;
        t[2][st] = y;
    }
}

void push_down(int st) {
    if (lazC[st]) {//先进行转换操作
        change(st, ls);
        change(st, rs);
        lazC[ls] = (lazC[ls] + lazC[st]) % 3;
        lazC[rs] = (lazC[rs] + lazC[st]) % 3;
        lazC[st] = 0;
    }
    for (int i = 0; i <= 2; ++i) {
        t[i][ls].sum = ((t[i][ls].sum * t[i][st].lazM) % mod + t[i][st].lazS * len[ls]) % mod;//先进行乘法操作，再进行加法操作
        t[i][rs].sum = ((t[i][rs].sum * t[i][st].lazM) % mod + t[i][st].lazS * len[rs]) % mod;//先进行乘法操作，再进行加法操作
        t[i][ls].lazS = ((t[i][ls].lazS * t[i][st].lazM) % mod + t[i][st].lazS) % mod;//注意加法标记要先做乘法，再做加法
        t[i][rs].lazS = ((t[i][rs].lazS * t[i][st].lazM) % mod + t[i][st].lazS) % mod;//注意加法标记要先做乘法，再做加法
        t[i][ls].lazM = t[i][ls].lazM * t[i][st].lazM % mod;//乘法标记直接操作即可
        t[i][rs].lazM = t[i][rs].lazM * t[i][st].lazM % mod;//乘法标记直接操作即可
        t[i][st].lazM = 1;//清除懒惰标记
        t[i][st].lazS = 0;//清除懒惰标记
    }
}

void add(int st, int l, int r, int L, int R, int a[]) {
    if (L <= l && r <= R) {
        for (int i = 0; i <= 2; ++i) {
            t[i][st].lazS = (t[i][st].lazS + a[i]) % mod;
            t[i][st].sum = (t[i][st].sum + a[i] * len[st]) % mod;//注意lazS保留的仅仅是加法，以便对于不同区间根据长度判定加和
        }
        return;
    }
    push_down(st);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (L <= mid)
        add(ls, l, mid, L, R, a);
    if (R > mid)
        add(rs, mid + 1, r, L, R, a);
    for (int i = 0; i <= 2; ++i)t[i][st].sum = (t[i][ls].sum + t[i][rs].sum) % mod;
}

void mul(int st, int l, int r, int L, int R, int val) {
    if (L <= l && r <= R) {
        for (int i = 0; i <= 2; ++i) {
            t[i][st].sum = (t[i][st].sum * val) % mod;
            t[i][st].lazM = (t[i][st].lazM * val) % mod;
            t[i][st].lazS = (t[i][st].lazS * val) % mod;//由乘法分配律，lazS也需要乘
        }
        return;
    }
    push_down(st);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (L <= mid)
        mul(ls, l, mid, L, R, val);
    if (R > mid)
        mul(rs, mid + 1, r, L, R, val);
    for (int i = 0; i <= 2; ++i)t[i][st].sum = (t[i][ls].sum + t[i][rs].sum) % mod;
}

void change(int st, int l, int r, int L, int R) {
    if (L <= l && r <= R) {
        lazC[st] = (lazC[st] + 1) % 3;//转换操作转换三次后就等于不转换，所以取模
        node x = t[0][st], y = t[1][st], z = t[2][st];//lazC标记实际含义为保留子节点的信息，所以父节点要进行操作
        t[0][st] = y;
        t[1][st] = z;
        t[2][st] = x;
        return;
    }
    push_down(st);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (L <= mid)
        change(ls, l, mid, L, R);
    if (R > mid)
        change(rs, mid + 1, r, L, R);
    for (int i = 0; i <= 2; ++i)t[i][st].sum = (t[i][ls].sum + t[i][rs].sum) % mod;
}

void query(int st, int l, int r, int L, int R, int a[]) {
    if (L <= l && r <= R) {
        for (int i = 0; i <= 2; ++i) {
            a[i] = (a[i] + t[i][st].sum) % mod;
        }
        return;
    }
    push_down(st);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (L <= mid)
        query(ls, l, mid, L, R, a);
    if (R > mid)
        query(rs, mid + 1, r, L, R, a);
}

void solve() {
    //注意本代码已#define int long long
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    //为离散化，先读入，后操作
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        cin >> q[i][0] >> q[i][1] >> q[i][2];
        ++q[i][2];//形成左闭右开区间
        v.push_back(q[i][1]);
        v.push_back(q[i][2]);
        if (q[i][0] == 1) {
            for (int j = 3; j <= 5; ++j)cin >> q[i][j];
        } else if (q[i][0] == 2) {
            cin >> q[i][3];
        }
    }
    v.push_back(LLONG_MIN);//放入一个最小值，保证数组以1开始，也可以开一个数组进行离散化
    sort(v.begin(), v.end());//离散化需要先排序
    v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());//将多余的数字去除
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        //通过二分离散化
        q[i][1] = lower_bound(v.begin(), v.end(), q[i][1]) - v.begin();
        q[i][2] = lower_bound(v.begin(), v.end(), q[i][2]) - v.begin();
    }
    int tot = v.size() - 1;//线段树的叶子结点个数，即操作区间的最右端点
    build(1, 1, tot);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        //由于操作左闭右开区间，所以每次操作右端点需要-1
        if (q[i][0] == 1) {
            int x[] = {q[i][3], q[i][4], q[i][5]};
            add(1, 1, tot, q[i][1], q[i][2] - 1, x);
        } else if (q[i][0] == 2) {
            mul(1, 1, tot, q[i][1], q[i][2] - 1, q[i][3]);
        } else if (q[i][0] == 3) {
            change(1, 1, tot, q[i][1], q[i][2] - 1);
        } else {
            int x[] = {0, 0, 0};
            query(1, 1, tot, q[i][1], q[i][2] - 1, x);
            int ans = 0;
            for (int j = 0; j <= 2; ++j) {
                ans = (ans + x[j] * x[j] % mod) % mod;
            }
            cout << ans << '\n';
        }
    }
}

signed main() {
    start;//关同步
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

总结

本题难点在于三个标记的影响以及区间离散化。

对于前两个标记在洛谷OJ中有原题，转换则需要考虑多种组合，以及不正确转换的反例，比如说转换和运算的先后，是否带标记转换还是只转换\(sum\)，转换根据本节点的标记还是父节点的标记等等。题解给出的是正确的转换方式，但是非正确的转换方式很容易干扰思路，所以请完全理解为什么如此转换。

而区间离散化首先需要理解离散化的思想，其次理解为什么要将区间变为左闭右开区间，最后理解每一个节点代表什么。