[Link-Cut-Tree]【学习笔记】

可以按照<Utopiosphere>的调唱出来 “Link-Cut ,Time doesn’t stop .Prepare your doubts ,Eat them up”

参考资料：

1.popoqqq课件

2.《QTREE 解法的一些研究 》

3.http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/50991804

一【理论知识】

• Link-Cut-Tree(简称LCT)是解决动态树类问题一种数据结构

• Preferred Child：重儿子，重儿子与父亲节点在同一棵Splay中，一个节点最多只能有一个重儿子
• Preferred Edge：重边，连接父亲节点和重儿子的边
• Preferred Path ：重链，由重边及重边连接的节点构成的链

Auxiliary Tree(辅助树)

• 由一条重链上的所有节点所构成的Splay称作这条链的辅助树
• 每个点的键值为这个点的深度，即这棵Splay的中序遍历是这条链从链顶到链底的所有节点构成的序列

• 辅助树的根节点的父亲指向链顶的父亲节点，然而链顶的父亲节点的儿子并不指向辅助树的根节点
• （也就是说父亲不认轻儿子只认重儿子，儿子都认父亲）
• 这条性质为后来的操作提供了依据

原树与辅助树的关系

• 原树中的重链 -> 辅助树中两个节点位于同一棵Splay中
• 原树中的轻链 -> 辅助树中子节点所在Splay的根节点的father指向父节点
• 注意原树与辅助树的结构并不相同
• 辅助树的根节点≠原树的根节点
• 辅助树中的father≠原树中的father

辅助树是不断变化的，重链和轻链不断变化

二【实现】

LCT用到的Splay和通常的还是有点不同，没有权值v，不进行查找操作，点编号就是原树的编号

因为是一个Splay森林，多条重链多个根，所以用isRoot(x)判断是否为根，判断isRoot(x)相当于判断x的父亲存不存在

rotate只是设置g的儿子时判断isRoot(f)就行了

splay需要pushDown了(因为没有kth了)，也是判断isRoot(pa)

Access和Cut更新了儿子关系，所以需要update

Access

• 将一个点与原先的重儿子切断，并使这个原树上点到根路径上的边全都变为重边
• 所以 这个节点到根的路径上的所有节点形成了一棵Splay
• 便于操作或查询节点到根路径上的所有节点

实现：不断把x splay到当前Atree的根，然后它的右子树就是重儿子了，修改；用y辅助

注意：Access后x不一定为这颗Splay的根，因为中途x变fa了

维护了节点信息别忘更新

MakeRoot

• 将x设为原树的根

实现：Access后splay到根，然后全在x的左子树上(权值是深度)，区间翻转即可

FindRoot

• 找x所在原树根，判连通性

实现：MakeRoot后不断往左找(不需要pushDown？加上也可以啊。不加也对因为只是来判连通，判断是不是在一棵原树上，都不pushDown找到的还是同一个点吧)

Link

实现：MakeRoot(x)然后t[x].fa=y

Cut

实现：MakeRoot(x)然后Access(y) splay(y) ，x就在y的左儿子了，t[y].ch[0]=t[x].fa=0;

维护了节点信息别忘更新

对x到y路径上的点进行修改或查询
只需要对x进行Move_To_Root操作，然后对y进行Access+Splay操作，那么x到y路径上的所有点都在以y为根的子树上

因为Access后x和y重链在一棵Splay上，x深度比y小

三【模板】

[update 2017-04-05]

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define lc t[x].ch[0]
#define rc t[x].ch[1]
#define pa t[x].fa
typedef long long ll;
const int N=3e5+;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=,f=;
    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
    return x*f;
}

namespace lct {
    struct meow{int ch[], fa, rev, sum, w;} t[N];
    inline int wh(int x) {return t[pa].ch[] == x;}
    inline int isr(int x) {return t[pa].ch[] != x && t[pa].ch[] != x;}
    inline void update(int x) {t[x].sum = t[lc].sum ^ t[rc].sum ^ t[x].w;}
    inline void rever(int x) {t[x].rev ^= ; swap(lc, rc);}
    inline void pushdn(int x) {
        if(t[x].rev) {
            if(lc) rever(lc);
            if(rc) rever(rc);
            t[x].rev = ;
        }
    }
    void pd(int x) {if(!isr(x)) pd(pa); pushdn(x);}
    inline void rotate(int x) {
        int f=t[x].fa, g=t[f].fa, c=wh(x);
        if(!isr(f)) t[g].ch[wh(f)]=x; t[x].fa=g;
        t[f].ch[c] = t[x].ch[c^]; t[t[f].ch[c]].fa=f;
        t[x].ch[c^] = f; t[f].fa=x;
        update(f); update(x);
    }
    inline void splay(int x) {
        pd(x);
        for(; !isr(x); rotate(x))
            if(!isr(pa)) rotate( wh(pa)==wh(x) ? pa : x );
    }

    inline void access(int x) {
        for(int y=; x; y=x, x=pa) splay(x), rc=y, update(x);
    }
    inline void maker(int x) {
        access(x); splay(x); rever(x);
    }
    inline int findr(int x) {
        access(x); splay(x);
        while(lc) pushdn(x), x=lc; return x;
    }
    inline void link(int x, int y) {
        maker(x); t[x].fa=y;
    }
    inline void cut(int x, int y) {
        maker(x); access(y); splay(y);
        t[x].fa = t[y].ch[] = ; update(y);
    }
    inline void split(int x, int y) {
        maker(x); access(y); splay(y);
    }
} using lct::findr;

int n, Q, op, x, y;
int main() {
    freopen("in","r",stdin);
    n=read(); Q=read();
    for(int i=; i<=n; i++) lct::t[i].w = read();
    for(int i=; i<=Q; i++) {
        op=read(); x=read(); y=read();
        if(op==) lct::split(x, y), printf("%d\n", lct::t[y].sum);
        if(op==) if(findr(x) != findr(y)) lct::link(x, y);
        if(op==) if(findr(x) == findr(y)) lct::cut(x, y);
        if(op==) lct::t[x].w = y, lct::splay(x);
    }
}

四【一点好玩的东西】

1.LCT可做动态树问题

2.LCT可做树链剖分

3.LCT可做支持删除边的并查集(我太navie了.......并不能完全实现这个功能，是一颗树啊啊啊)

4.LCT可做不用排序的Kruskal(动态加边的最小生成树)