bzoj 3528: [Zjoi2014]星系调查

Description

银河历59451年，在银河系有许许多多已被人类殖民的星系。如果想要在行

星系间往来，大家一般使用连接两个行星系的跳跃星门。  一个跳跃星门可以把

物质在它所连接的两个行星系中互相传送。

露露、花花和萱萱被银河系星际联盟调查局任命调查商业巨擘ZeusLeague+

的不正当商业行为。

在银河系有N个已被ZeusLeague+成功打入市场的行星系，不妨标号为

1,2,...,N。而ZeusLeague+在这N个行星系之间还拥有自己的M个跳跃星门。使

用这些跳跃星门，ZeusLeague+的物资就可以在这N个行星系中两两任意互相传

输。由于经费问题，跳跃星门的个数不会超过行星系的个数。

露露在颇费周折之后得到了ZeusLeague+在这N个行星系中的各自的贸易总

额C[i]。

萱萱设计了一个经济学特征指标D[i]来度量这N个行星系的经济学特征。于

是，我们可以用二元组(C[i],D[i])来表示第i个行星系的XP(Xuan's Position)。现

在假设我们有k个行星系的XPs，把它们放置在二维平面上，然后我们用一条直

线去拟合这些XPs。定义一条直线与XPs的相斥度为这条直线到各个XP的Euclid

距离的平方之和。再令XPs的线性假设相斥度为所有直线与XPs的相斥度中的

最小者。那么，这个值越小，ZeusLeague+在这k个行星系中的相互贸易活动就

越可疑，从而值得进一步调查。花花负责计算许多行星系对(u,v)的非可疑度。一

条跳跃星门航线的非可疑度被定义为它经过的所有行星系（包括起点和终点）的

XPs的线性假设相斥度。而一个行星系对(u,v)的非可疑度则被定义为所有以u为

起点，v为终点的跳跃星门航线的非可疑度中的最小值。一条跳跃星门航线是指

从某个行星系开始，通过跳跃星门依次到达某些行星系，然后终止，并且中途不

重复经过行星系，这样的一个过程。

花花负责计算许多行星系对(u,v)的非可疑度。一条跳跃星门航线的非可疑度

被定义为它经过的所有行星系（包括起点和终点）的XPs的线性假设相斥度。

而一个行星系对(u,v)的非可疑度则被定义为所有以u为起点，v为终点的跳跃星

门航线的非可疑度中的最小值。一条跳跃星门航线是指从某个行星系开始，通过

跳跃星门依次到达某些行星系，然后终止，并且中途不重复经过行星系，这样的

一个过程。

在花花数天夜以继日的工作之后，平行调查组的你——大名鼎鼎的计算机科

学家Hcceleration.Gerk.Gounce不忍心看到她这样不眠不休，于是你在完成了手

头的工作之后决定帮一帮她。

Input

第一行是N，M，分别表示这个银河系内的行星系的个数

以及跳跃星门的个数。

接下来N行，每行2个正整数C[i], D[i]，表示第i 个行星系的XP(Xuan's Position)。

接下来的M行来描述跳跃星门，每行2个正整数u[i],v[i]，表示有一个连接

着行星系u[i]和v[i]的跳跃星门。注意这个连接是无向的。不会存在自己连向自

己的情况。也不会存在重复连接的情况。

接下来的一行，有一个正整数Q，表示花花需要计算的非可疑度的行星对数。

接下来的Q行，每行2个正整数s[i], t[i]，表示花花需要计算从s[i]到t[i]的

非可疑度。

Output

总共Q行，每一行一个实数，表示花花第i次需要计算的答

案。你的答案需要和标准答案的差不超过0.01才能得分。

Sample Input

6 6
3 4
5 6
1 3
4 4
3 3
2 4
1 2
1 3
2 3
2 4
3 5
5 6
3
3 6
2 4
4 6

Sample Output

0.66667
0.00000
1.67544

一道良心的必修一压轴题+树链剖分

通过一系列漫长的推导+勇敢的展开,最后只需要维护

推导的话主要是运用两次主元法(点到直线距离公式要记得),最后由求根公式即可,推导以后补:

设最后的那条直线的解析式为y=kx+b,设n为路径上的点数

由点到直线的距离公式：

带入暴算并把b当做主元：

分子是一个二次函数形式,可以计算出整个式子取最小值时的b值(二次函数顶点)

令：

则 b=yar-xar;

在把b带入以k为主元：
可以把分子变为一个关于k的二次函数形式：

令:

则 暴力计算可得到

所以

乘过去：

由于有解，所以

所以：

易知在Ans取较小的那个零点的时候为所求答案，由求根公式计算即可；

不容易啊

因为图连通且不超过n条边,所以为树或者一个基环树

树的话直接树链剖分,维护的东西直接用树上前缀和即可: x+y-lca-fa[lca];

基环树的话,把环看做根节点后就是树了,如果lca为环的话分别跳到环上,

环上的按照某种时针顺序预处理前缀和,然后分别走两条路统计即可.

如果lca不是环就正常树的即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define RG register
using namespace std;
const int N=300050;
int n,m,cnt,tot,root[N],head[N],to[N],nxt[N],fa[N],dep[N],size[N],son[N],top[N],cir[N],rt[N];
int tx[N],ty[N],vis[N];
int gi()
{
    int x=0,flag=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*flag;
}
struct data{
    int pre[6];
    void update(RG int u,RG int v){
	pre[0]++;pre[1]+=u;pre[2]+=u*u;
	pre[3]+=v;pre[4]+=v*v;pre[5]+=u*v;
    }
    double query(){
	RG double n=pre[0],totx=pre[1],toty=pre[3],totx2=pre[2],toty2=pre[4],totxy=pre[5];
	RG double xar=totx/n,yar=toty/n;
	RG double a=totx2-2*xar*totx+n*xar*xar;
	RG double b=2*yar*totx+2*xar*toty-2*totxy-2*n*xar*yar;
	RG double c=toty2-2*yar*toty+n*yar*yar;
	RG double A=4.0,B=-4*(a+c),C=4*a*c-b*b;
	return (-B-sqrt(B*B-4*A*C))/2/A;
    }
}a[N],b[N];
data operator +(data x,data y){
    for(RG int i=0;i<6;i++) x.pre[i]+=y.pre[i]; return x;
}
data operator -(data x,data y){
    for(RG int i=0;i<6;i++) x.pre[i]-=y.pre[i]; return x;
}
void lnk(RG int x,RG int y){
    to[++tot]=y;nxt[tot]=head[x];head[x]=tot;
}
inline void dfs1(int x,int f){
    vis[x]=1;size[x]=1;son[x]=0;rt[x]=f;
    a[x]=a[fa[x]]; a[x].update(tx[x],ty[x]);
    for(RG int i=head[x];i;i=nxt[i]){
	RG int y=to[i];
	if (!vis[y]&&y!=fa[x]){
	    dep[y]=dep[x]+1;fa[y]=x;
	    dfs1(y,f);size[x]+=size[y];
	    if(size[y]>size[son[x]]) son[x]=y;
	}
    }
}
inline void dfs2(RG int x,RG int f){
    top[x]=f;
    if(son[x]) dfs2(son[x],f);
    for (RG int i=head[x]; i; i=nxt[i]){
	RG int y=to[i];
	if(x==fa[y] && y!=son[x]) dfs2(y,y);
    }
}
inline int lca(RG int x,RG int y){
    while(top[x]!=top[y]){
	if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
	x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    return y;
}
inline void work(){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(RG int x=1;x<=n;x++)
	for(RG int i=head[x];i;i=nxt[i]){
	    if(fa[x]!=to[i]&&fa[to[i]]!=x){
                RG int y=to[i];
                if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
                for(;y!=x;y=fa[y]){
                    root[++cnt]=y;cir[y]=cnt;vis[y]=1;
                    b[cnt]=b[cnt-1];b[cnt].update(tx[y],ty[y]);
                }
                root[++cnt]=x;cir[x]=cnt;vis[x]=1;
                b[cnt]=b[cnt-1];b[cnt].update(tx[x],ty[x]);
                return;
            }
	}
}
int main(){
    n=gi(),m=gi();RG int x,y;
    for(RG int i=1;i<=n;i++) tx[i]=gi(),ty[i]=gi();
    for(RG int i=1;i<=m;i++){
	x=gi(),y=gi();
	lnk(x,y); lnk(y,x);
    }
    dfs1(1,1);
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    if(n==m) work();else root[cnt=1]=1;
    memset(fa,0,sizeof(fa));
    for(RG int i=1;i<=cnt;i++){
	dfs1(root[i],root[i]); dfs2(root[i],root[i]);
    }
    RG int Q=gi();data u,v;
    for(RG int i=1;i<=Q;i++){
	x=gi(),y=gi();
	if (rt[x]==rt[y]){
	    u=a[x]+a[y]-a[lca(x,y)]-a[fa[lca(x,y)]];
	    printf("%.5f\n",u.query());
	} else{
	    if (cir[rt[x]]>cir[rt[y]]) swap(x,y);
	    u=a[x]-a[rt[x]]+a[y]-a[rt[y]]+b[cir[rt[y]]]-b[cir[rt[x]]-1];
	    v=a[x]-a[rt[x]]+a[y]-a[rt[y]]+b[cir[rt[x]]]+b[cnt]-b[cir[rt[y]]-1];
	    printf("%.5f\n",min(u.query(),v.query()));
	}
    }
    return 0;
}