BZOJ 1420 Discrete Root

思路：数学大汇总

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错因：有一个\(j\)写成\(i\)

题解：

求：\(x^k \equiv a \mod p\)

我们先转化一下：求出\(p\)的原根\(g\)

然后我们用\(BSGS\)可以求出 \(g^b \equiv a \mod p\)，即\(a\)的指标\(b\).然后因为原根的幂可以表示\([0,p-1]\)中的任何一个数，所以设\(x=g^y\)，原式可以转化成 \((g^y)^k \equiv a \mod p\)，即\(g^{y*k} \equiv g^b\mod P\)，所以指数满足 \(y*k \equiv b \mod \varphi(p)\)，可以用\(exgcd\)解出这个方程的解。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<map>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define RR register ll
#define int ll
#define R register int
using namespace std;
namespace Luitaryi {
template<class I> inline I g(I& x) { x=0; register I f=1;
	register char ch; while(!isdigit(ch=getchar())) f=ch=='-'?-1:f;
	do x=x*10+(ch^48); while(isdigit(ch=getchar())); return x*=f;
} ll a,n,k,m,p,G,cnt,mem[100010],ind,ans[100010];
map<ll,ll> mp;
inline ll qpow(ll a,ll b) { RR ret=1;
	for(;b;b>>=1,(a*=a)%=p) if(b&1) (ret*=a)%=p; return ret;
}
inline void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y) {
	if(!b) {x=1,y=0; return ;}
	exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x;
}
inline ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
inline int BSGS() {
	R t=sqrt(p)+1; RR sum=a;//BSGS求a的指标
	for(R i=1;i<=t;++i) (sum*=G)%=p,mp[sum]=i;
	sum=qpow(G,t); if(sum==0) return a==0?1:-1;
	for(R i=1;i<=t;++i) {
		RR tmp=qpow(sum,i);
		if(mp.count(tmp)&&i*t-mp[tmp]>=0) return i*t-mp[tmp];
	} return -1;
}
inline void main() {
	m=g(p)-1,g(k),g(a); if(!a) return (void) printf("1\n0\n"); RR x=m;
	for(R i=2,lim=sqrt(m);i<=x&&i<=lim;++i) {
		if(x%i==0) mem[++cnt]=i;
		while(x%i==0) x/=i;
	} if(x>1) mem[++cnt]=x;
	//求原根
	for(R i=2;i<=m;++i) { register bool flg=true;
		for(R j=1;j<=cnt;++j) {
			if(qpow(i,m/mem[j])==1) {
				flg=false; break;
			}
		} if(flg) {G=i; break;}
	}
	//求指标
	ind=BSGS(); if(ind==-1) return (void) puts("0");
	//解同余方程
	RR y; RR d=gcd(k,m);
	if(ind%d) return (void) puts("0");
	R A=k/d,B=m/d; ind/=d;
	exgcd(A,B,x,y); (x*=ind)%=m; x=(x%B+B)%B;
	cnt=0;
	while(x<=m) ans[++cnt]=qpow(G,x),
	x+=B; sort(ans+1,ans+cnt+1);
	printf("%lld\n",cnt); for(R i=1;i<=cnt;++i) printf("%lld ",ans[i]);
}
} signed main() {Luitaryi::main(); return 0;}

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2019.08.22

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