灰度图像--图像分割 阈值处理之OTSU阈值

学习DIP第55天

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#开篇废话

废话开始，今天介绍OTSU算法，本算法比前面给出的算法更能够给出数学上的最佳阈值，不需要任何输入附加参数、与同样不需要输入附加参数的迭代均值和均值阈值来比较，OTSU给出的阈值能使分类更加均匀。

阈值处理将灰度值分为两类，而对于分类问题，已有的一种最优闭合解–贝叶斯决策规则。

#贝叶斯决策规则

首先介绍下贝叶斯公式的形象化理解，考虑下图

上面的12幅图中有手枪和弹夹，只有弹夹和手枪出现在同一个盒子的时候才有杀伤力，也就是你拿到一个盒子，你不知道里面是什么，有可能是枪，有可能是弹夹，有可能同时有枪和弹夹。下面来从概率学角度分析

设盒子里有枪为事件A，那么A出现的概率设为p(A)p(A)p(A)。

设盒子里有弹夹为事件B，那么B出现的概率设为p(B)p(B)p(B)。

那么同时出现事件A和事件B的概率为p(AB)p(AB)p(AB)

看图可以知道

$p(A)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} $..........(1)
$p(B)=\frac{7}{12} $..........(2)
$p(AB)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} $..........(3)

考虑我们随机抽出一个盒子，先拿出一个东西，比如先拿出一把枪，那么也就是事件A发生了，那么我们继续从盒子里拿东西，有可能拿到弹夹，也有可能啥也没有，那么拿到弹夹的概率就如下：

$p(B|A)=\frac{3}{8} $..........(4)

同理，如果先拿出来的是个弹夹，那么接下来拿出枪的概率是：

$p(A|B)=\frac{3}{7} $..........(5)

结合(1)(2)(3)(4)(5)，可以得到：

$p(AB)=p(A|B)*p(B)=p(B|A)*p(A) $..........(6)

---

假设下面情形：

已知拿出枪的概率是：

$p(A)=\frac{2}{3} $

拿出枪以后拿出弹夹的概率

$p(B|A)=\frac{3}{8} $

拿出弹夹的概率：

$p(B)=\frac{7}{12} $

求拿出弹夹以后拿出枪的概率

$p(A|B)=\frac{p(B|A)*p(A)}{p(B)} $

以上就是贝叶斯公式的一般形式，更复杂的形式会在后面的文章中详细介绍。（更复杂的形式是指盒子里有枪，子弹，弹夹，手榴弹。。。。。。）

#数学原理

OTSU算法可以基于直方图计算，考虑灰度级为{0，1，2…L-1}大小为$M \times N 的图像，设的图像，设的图像，设n_i $为灰度级为i的像素的总数量，那么:

$M \times N=\sum^{L-1}_{i=0}n_i $
$p(n_i)=\frac{n_i}{M \times N} $
$\sum^{L-1}_{i=0}p_i=1 $

假设阈值为k将直方图分成两部分。

部分1(C1)(C_1)(C1​)的概率为：

$p_1(k)=\sum^{k}_{i=0}p_i $

部分2(C2)(C_2)(C2​)的概率为：

$p_2(k)=\sum^{L-1}_{i=k+1}p_i $

部分1(C1)(C_1)(C1​)的平均数：

$m_1(k)=\sum^{k}_{i=0}i*P(i|C_1)=\sum^{k}_{i=0}i*\frac{P(C_1|i)*P(i)}{P(C_1)} $

$P(C_1|i) 的值为1，因为的值为1，因为的值为1，因为i 是属于是属于是属于C_1 的，所以发生的，所以发生的，所以发生i 以后发生以后发生以后发生C_1 $的概率是100%，所以

$m_1(k)=\frac{1}{P_1(k)} \sum^{k}_{i=0}i*p_i $

部分2(C2)(C_2)(C2​)的平均数：

$m_2(k)=\frac{1}{P_2(k)} \sum^{L-1}_{k+1}i*p_i $

全图的均值

$m_G=\sum^{L-1}_{i=0}iP_i $

上面的式子可以由下面验证：

$P_1m_1+P_2m_2=m_G $
$P_1+P_2=1 $

下面就是关键部分了，如何评价一个阈值的好坏，提出一个阈值，将像素灰度分为两类，通过以下的公式来评价阈值质量：

$\eta=\frac{\delta_B^2}{\delta_G^2} $
$\delta_G^2=\sum^{L-1}_{i=0}(i-m_G)^2*p_i $

δB2\delta_B^2δB2​是类间方差，其定义为：

$\delta_B^2=P_1(m_1-m_G)^2+P_2(m_2-m_G)^2 $

公式还可以写成：

$\delta^2_B=P_1P_2(m_1-m_2)^2=\frac{P_1(m_1-m_G)^2}{1-P_1} $

于是最佳阈值$k^* $由下面得出：

$\delta^2_B(k^*)=max_{0\leq k \leq L-1}\delta^2_B(k) $

通过上式可以通过迭代计算出最佳的k值。使用k作为阈值，对图像进行处理。

#代码实现

/*
 *OTSU 算法
 *otsu 算法使用贝叶斯分类原理得到最好聚类
 *
 *
 */
//归一化直方图

void setHist2One(double *hist_d,double *dst_hist_d){
    double sum=0.0;
    for(int i=0;i<GRAY_LEVEL;i++)
        sum+=hist_d[i];
    if(sum!=0)
        for(int i=0;i<GRAY_LEVEL;i++)
            dst_hist_d[i]=hist_d[i]/sum;

}
//计算公式中最大的deta，并返回直方图灰度
double findMaxDeta(double *hist_d){
    double max_deta=-1.0;
    double max_deta_location=0.0;
    double m_g=0.0;

    for(int i=0;i<GRAY_LEVEL;i++)
        m_g+=i*hist_d[i];

    for(int i=0;i<GRAY_LEVEL;i++){
        double p1=0.0;
        double m1=0.0;
        double deta=0.0;
        for(int j=0;j<=i;j++){
            p1+=hist_d[j];
            m1+=j*hist_d[j];
        }
        deta=p1*(m1-m_g)*(m1-m_g)/(1-p1);
        if(deta>max_deta){
            max_deta_location=i;
            max_deta=deta;
        }
    }
    return max_deta_location;
}
void OTSUThreshold(double *src,double *dst,int width,int height,int type){
    int hist[GRAY_LEVEL];
    double hist_d[GRAY_LEVEL];
    setHistogram(src, hist, width, height);
    Hist_int2double(hist, hist_d);
    setHist2One(hist_d, hist_d);
    double threshold=findMaxDeta(hist_d);
    Threshold(src, dst, width, height, threshold, type);
}

#观察结果

原图：


加入1%的高斯噪声：


加入3%的高斯噪声：


加入5%的高斯噪声：


加入7%的高斯噪声：


加入9%的高斯噪声：


加入11%的高斯噪声：


lena:


baboon:


#总结

OTSU算法产生的阈值是数学角度上的最佳分类，数学基础的贝叶斯公式，但应用也有一定的局限性，比如，前面说过最多的，对全局阈值，目标与背景的大小关系，当目标和背景大小相差很多时，或者噪声很大的时候，对OTSU产生影响较大。

待续。。。

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    • 5.0 灰度图像-空域滤波 基础：卷积和相关
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    • 5.2 灰度图像-图像增强 平滑之均值滤波、高斯滤波
    • 5.3 灰度图像-图像增强 双边滤波 Bilateral Filtering
    • 5.4 灰度图像-图像增强 中值滤波
    • 5.5 灰度图像-图像增强 锐化基础
    • 5.6 灰度图像–图像增强 拉普拉斯算子
    • 5.7 灰度图像-图像增强 非锐化掩蔽 （Unsharpening Mask）
    • 5.8 灰度图像-图像增强 Robert算子、Sobel算子
    • 5.9 灰度图像–图像增强 灰度变换
    • 5.10 灰度图像–图像增强 直方图均衡化（Histogram Equalization)
    • 5.11 灰度图像-图像增强 直方图匹配（规定化）Histogram Specification
    • 6.0 灰度图像-图像分割 综合介绍
    • 6.1 灰度图像-图像分割 边缘模型
    • 6.2 灰度图像-图像分割 边缘检测算子 综述
    • 6.3 灰度图像-图像分割 Robert算子
    • 6.4 灰度图像-图像分割 Sobel算子
    • 6.5 灰度图像-图像分割 Prewitt算子
    • 6.6 灰度图像-图像分割 Scharr算子
    • 6.7 灰度图像-图像分割 Sobel算子，Prewitt算子和Scharr算子平滑能力比较
    • 6.8 灰度图像-图像分割 Canny边缘检测
    • 6.9 灰度图像-图像分割 Marr-Hildreth算子（LoG算子）
    • 6.10 灰度图像-图像分割 霍夫变换(Hough Transform)–直线
    • 7.0 灰度图像-图像分割 阈值处理综述
    • 7.1 灰度图像-图像分割 阈值处理之平均阈值
    • 7.2 灰度图像-图像分割 阈值处理之P-Tile阈值
    • 7.3 灰度图像–图像分割 阈值处理之迭代均值阈值
    • 7.4 灰度图像-图像分割 阈值处理之谷底阈值、峰顶平均
    • 7.5 灰度图像-图像分割 阈值处理之OTSU阈值
    • 7.6 灰度图像–图像分割 阈值处理之补充说明
    • 7.7 灰度图像-图像分割 阈值处理之局部阈值
    • 7.8 灰度图像-图像分割 区域分割之区域生长
    • 7.9 灰度图像-图像分割 区域分割之区域分离
    • 7.10 灰度图像-图像分割 区域分割之分水岭算法
    • 8.0 彩色模型，CIE XYZ，CIE RGB
    • 8.1 彩色图像-色彩空间 综述
    • 8.2 彩色图像-色彩空间 RGB系列
    • 8.3 彩色图像-色彩空间 CMY(K)空间
    • 8.4 彩色图像-色彩空间 YIQ 、YUV 、YCbCr 、YC1C2 和I1I2I3
    • 8.5 彩色图像-色彩空间 CIELAB、CIELUV
    • 8.6 彩色图像-色彩空间 HSI(HSL)、HSV(HSB)
    • 8.7 彩色图像-色彩空间 总结
    • 9.1 彩色图像-伪彩处理 灰度图转伪彩色图像
    • 9.2 彩色图像-彩色变换 补色处理
    • 10.1 彩色图像-图像增强 直方图增强
    • 10.2 彩色图像-图像增强 图像平滑
    • 10.3 彩色图像-图像增强 图像锐化
    • 10.4 彩色图像-图像分割 彩色空间分割

  • 遗传算法

• 神经生物学

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技术

• 语言
  • C++
  • Python
    • Web Crawler
      • 1.0 Introduction
      • 2.0 分析目标网站
      • 3.0 三只虫
      • 3.1 HTTP协议（一）
      • 3.2 HTTP协议（二）
      • 3.3 数据抓取
  • CUDA
    • 0.0 腾讯云CUDA环境搭建
    • 1.0 并行计算与计算机架构
    • 1.1 异构计算与CUDA
    • 2.0 CUDA编程模型概述(一)
    • 2.1 CUDA编程模型概述(二)
    • 2.2 给核函数计时
    • 2.3 组织并行线程
    • 2.4 设备信息查询
    • 3.1 CUDA执行模型概述
    • 3.2 理解线程束执行的本质（Part I）
    • 3.2 理解线程束执行的本质（Part II）
    • 3.3 并行性表现
    • 3.4 避免分支分化
    • 3.5 循环展开
    • 3.6 动态并行
    • 4.0 全局内存
    • 4.1 内存模型概述
    • 4.2 内存管理
    • 4.3 内存访问模式
    • 4.4 核函数可达到的带宽
    • 4.5 使用统一内存的向量加法
• 框架
  • OpenCV
    • OpenCV矩阵计算分析
  • TensorFlow .etc
• 设计实现框架
  • PineNut

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随笔

• 其他
  • 推荐读物
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