[LGP2000] 拯救世界

6的倍数 1/(1-x^6)

最多9块 (1-x^10)/(1-x)

最多5块 (1-x^6)/(1-x)

4的倍数 1/(1-x^4)

最多7块 (1-x^8)/(1-x)

2的倍数 1/(1-x^2)

最多1块 (1-x^2)/(1-x) (=1+x)

8的倍数 1/(1-x^8)

10的倍数 1/(1-x^10)

最多3块 (1-x^4)/(1-x)

分子 1

分母 (1-x)(1-x)(1-x)(1-x)(1-x)

这等于\(\sum_{i=0}^{+\infty} \pmatrix{5+i-1\\i} x^i\)

总共n块,取第n项结果为C(n+4,n)=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)/26

二项式定理相关参见

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e6+10;
const int mod=998244353;

struct Num {
	int a[N],len;
	int&operator[](const int&x){return a[x];}
	const int&operator[](const int&x)const{return a[x];}
	void write() {
		for(int i=len-1; ~i; --i) printf("%d",a[i]);
		putchar('\n');
	}
} A,E;
char str[N];

int w[N*2],rev[N*2],lmt;
inline int qpow(int x,int y) {
	register int c=1;
	for(; y; y>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(y&1) c=(ll)c*x%mod;
	return c;
}
void init(int n) {
	int l=0; lmt=1;
	while(lmt<=n) lmt<<=1,l++;
	for(int i=0; i<lmt; ++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	int tmp=lmt>>1,wlmt=qpow(3,(mod-1)>>l); w[tmp]=1;
	for(int i=tmp+1; i<lmt; ++i) w[i]=(ll)w[i-1]*wlmt%mod;
	for(int i=tmp-1; i; --i) w[i]=w[i<<1];
	lmt=l;
}
inline int getLen(int n) {return 1<<(32-__builtin_clz(n));}
inline void DFT(int a[],int len) {
	static unsigned long long tmp[N];
	int u=lmt-__builtin_ctz(len),T;
	for(int i=0; i<len; ++i) tmp[rev[i]>>u]=a[i];
	for(int m=1; m<len; m<<=1)
		for(int i=0,s=m<<1; i<len; i+=s)
			for(int j=0; j<m; ++j)
				T=tmp[i+j+m]*w[m+j]%mod,tmp[i+j+m]=tmp[i+j]+mod-T,tmp[i+j]+=T;
	for(int i=0; i<len; ++i) a[i]=tmp[i]%mod;
}
inline void IDFT(int a[],int len) {
	reverse(a+1,a+len), DFT(a,len);
	long long T=mod-(mod-1)/len;
	for(int i=0; i<len; ++i) a[i]=T*a[i]%mod;
}

int main() {
	scanf("%s",str);
	for(int i=0; str[i]; ++i) A[A.len++]=str[i]-'0';
	reverse(A.a,A.a+A.len);
	E[E.len=1,0]=1;
	init(A.len*4);
	for(int T=4,p; T--;) {
		for(A[p=0]++; A[p]>9; ++p) A[p+1]++,A[p]=0;
		while(A[A.len]) A.len++;
		int len=getLen(A.len+E.len);
		DFT(A.a,len);
		DFT(E.a,len);
		for(int i=0; i<len; ++i) E[i]=1LL*A[i]*E[i]%mod;
		IDFT(A.a,len);
		IDFT(E.a,len);
		for(p=0; p<len; ++p) E[p+1]+=E[p]/10,E[p]%=10;
		while(!E[p]) p--; E.len=p+1;
	}
	//E.write();
	for(int i=E.len-2; ~i; --i) {
		A[i]=(E[i+1]*10+E[i])/24;
		E[i]=(E[i+1]*10+E[i])%24;
	}
	assert(!E[0]);
	A.len=E.len-1;
	while(!A[A.len-1]) A.len--;
	A.write();
	return 0;
}