Eureka (数学组合 + 斜率)

由于斜率的储存精度不够，所以使用最简分数表示记录。

合并同一个位置上的点，然后统计个数，利用公式先求出至少包含2个点的数量。

然后再是求某位之上的点与某一斜率的个数，那就是每边至少一个点的个数相乘。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = ;
const long long mod = 1e9 + ;
long long powtwo[maxn];
map<pair<int, int>, int>mp;

struct node{
    int x, y, cnt;
    bool operator<(const node &a)const{
        if(x == a.x) return y < a.y;
        else return x < a.x;
    }
}a[maxn];

int main(){
    powtwo[] = ;
    for(int i = ; i < maxn; i ++) powtwo[i] = powtwo[i - ] *  % mod;

    int T, n;scanf("%d",&T);while(T --){
        scanf("%d",&n);
        for(int i = ; i < n; i ++)
            scanf("%d%d",&a[i].x, &a[i].y);
        sort(a, a + n);
        int i, j, cnt = ;
        for(i = ; i < n;){
            for(j = i + ; j < n; j ++)
                if((a[i].x != a[j].x) || (a[i].y != a[j].y))
                    break;

            a[cnt].x = a[i].x;
            a[cnt].y = a[i].y;
            a[cnt ++].cnt = j - i;
            i = j;
        }

        long long ans = 0LL;
        for(i = ; i < cnt; i ++)
            ans = (ans + ((a[i].cnt > ) ? powtwo[a[i].cnt] -  - a[i].cnt : )) % mod;

        for(i = ; i < cnt; i ++){
            mp.clear();
            for(j = i + ; j < cnt; j ++){
                int x = a[j].x - a[i].x;
                int y = a[j].y - a[i].y;
                int gcd = __gcd(x, y);
                if(gcd){
                    x /= gcd; y /= gcd;
                }
                mp[make_pair(x, y)] += a[j].cnt;
            }
            for(auto it : mp){
                ans += (powtwo[a[i].cnt] - ) * (powtwo[it.second] - );
                ans %= mod;
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return ;
}