P6007 [USACO20JAN]Springboards G

本题解仅用与作者加深算法理解，也欢迎大家的阅读

做题背景

原本关于二维的点的 \(dp\) 问题一直都没有什么想法，昨天晚上再做一道 \(cdq\) 的题目的时候被同学询问了这道题，发现可以用二维偏序使用的第一关键字排序，第二关键字用数据结构维护的方法来做，今天就把他切了。

题意

你需要从点 \((0,0)\) 走到点 \((n,n)\) ，且只能向右或向上走。同时给你 \(p\) 个点对 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) ，满足 \(x_1 \leq x_2\) 且 \(y_1 \leq y_2\) 。如果你在中间走到了一个点对的第一个点，你可以立即达到第二点（不计算距离），问你行走的最小距离是多少。

题解

我们联想到用解决二维偏序的方法来做。

我们先根据点对的 \(x_1\) （第一关键词）和 \(y_1\) （第二关键词）来排序，这样的话我们的 \(dp\) 肯定是没有后效性的，然后易得，每一个点对的答案肯定得是从 \(x_1\) 前面的 \(y_2\) 比它小的点转移过来的，同时每个点可以更新的点是满足 \(x_2\) 后面的 \(y_1\) 比他大的点，这个东西是可以用树状数组来维护的。

（ \(P.S.\) ：\(y_1\) 作为第二关键词是因为会出现一些比较奇怪的点对，比如点对 \((0,0),(0,1)\) 和点对 \((0,2),(0,3)\) ，此时仅根据 \(x_1\) 排序肯定是不行的，可以再加一个第二关键词 \(y_1\) ）

然后我们又发现，每一个点更新的顺序并不等于我们排序后的顺序（排序是根据 \(x_1\) ，更新是根据 \(x_2\) ），所以我们可以考虑用一个 \(set\) 来维护一下更新的时间顺序，到了相应的 \(x\) 轴位置再更新相应的点。

然后细节处理好就可以 \(AC\) 了，不要忘记离散化。

以上。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define IT set<pair<int,int> >::iterator
const int N=1e5+5;
int n,maxn;
struct Board{int x1,y1,x2,y2,data;}s[N];
bool cmp(Board a,Board b)
{
	if(a.x1!=b.x1)
	return a.x1<b.x1;
	return a.y1<b.y2;
};
map<int,int> mpx,mpy;
int ux[N<<1],sizex,uy[N<<1],sizey;
set<pair<int,int> > st;
struct TreeArray
{
	int s[N<<1];
	int lowbit(int x){return x&(-x);}
	void updata(int k,int x){for(;k<(N<<1);k+=lowbit(k))s[k]=min(s[k],x);}
	int query(int k){int res=1e18+7;for(;k;k-=lowbit(k))res=min(res,s[k]);return res;}
}t;
signed main()
{
	cin>>maxn>>n;;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&s[i].x1,&s[i].y1,&s[i].x2,&s[i].y2);
		ux[++sizex]=s[i].x1,ux[++sizex]=s[i].x2;
		uy[++sizey]=s[i].y1,uy[++sizey]=s[i].y2;
	}
	sort(s+1,s+1+n,cmp);
	ux[++sizex]=0,ux[++sizex]=maxn;
	uy[++sizey]=0,uy[++sizey]=maxn;
	sort(ux+1,ux+1+sizex);
	sort(uy+1,uy+1+sizey);
	sizex=unique(ux+1,ux+1+sizex)-ux-1;
	sizey=unique(uy+1,uy+1+sizey)-uy-1;
	for(int i=1;i<=sizex;++i) mpx[ux[i]]=i;
	for(int i=1;i<=sizey;++i) mpy[uy[i]]=i;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int tmp=mpx[s[i].x1];
		for(IT j=st.begin();j!=st.end()&&j->first<=tmp;++j)
		t.updata(mpy[s[j->second].y2],s[j->second].data-s[j->second].x2-s[j->second].y2);
		while(!st.empty()&&st.begin()->first<=tmp) st.erase(st.begin());
		s[i].data=t.query(mpy[s[i].y1])+s[i].x1+s[i].y1;
		st.insert(make_pair(mpx[s[i].x2],i));
		// printf("%d %d %d\n",s[i].x1,s[i].y1,s[i].data);
	}
	int tmp=mpx[maxn];
	for(IT j=st.begin();j!=st.end()&&j->first<=tmp;++j)
	t.updata(mpy[s[j->second].y2],s[j->second].data-s[j->second].x2-s[j->second].y2);
	printf("%lld\n",t.query(mpy[maxn])+maxn+maxn);
	return 0;
}