[Ignatius and the Princess III] 整数的无序拆分(DP + 生成函数)

整数的有序拆分就是隔板法，无序拆分则有两种处理方法

DP递推

• 我们假设P(n,m)P(n,m)P(n,m)是正整数nnn无序拆分为mmm个正整数的方案数

• 对于某一种拆分，不妨将拆分出来的mmm个数从小到大排序，分类讨论

  • 最小的数等于111，那么去掉这个111，相当于把剩下的n−1n-1n−1拆分成m−1m-1m−1个数，方案数就为P(n−1,m−1)P(n-1,m-1)P(n−1,m−1)
  • 最下的数大于111，那么将所有的数减去111，相当于把剩下的n−mn-mn−m拆分成mmm个数，方案数就为P(n−m,m)P(n-m,m)P(n−m,m)

• 则最终答案为∑i=1nP(n,i)\large\sum_{i=1}^nP(n,i)∑i=1n​P(n,i)，时间复杂度为Θ(n2)\large \Theta(n^2)Θ(n2)

• AC code

  #include <bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  int P[121][121];
  int main ()
  {
     for(int i = 1; i <= 120; ++i)
     {
     	P[i][1] = P[i][i] = 1;
     	for(int j = 2; j < i; ++j)
     		P[i][j] = P[i-1][j-1] + P[i-j][j];
     }
     for(int i = 1; i <= 120; ++i)
     	for(int j = 1; j <= i; ++j) //做前缀和
     		P[i][j] += P[i][j-1];
     int n;
     while(~scanf("%d", &n)) printf("%d\n", P[n][n]);
  }
  

生成函数/卷积

• 想一想，显然可得答案为
  
  (1+x1+x2+...)∗(1+x2+x4+...)∗(1+x3+x6+...)∗...\large (1+x^1+x^2+...)\\*(1+x^2+x^4+...)\\*(1+x^3+x^6+...)\\*...(1+x1+x2+...)∗(1+x2+x4+...)∗(1+x3+x6+...)∗...所得多项式中次数为nnn的系数
• 因为是多项式的乘积，就是在每个多项式中选111项，最后再加起来。在第iii个多项式中，111表示数iii不选，xkix^{ki}xki表示选了kkk个iii
• 这实际上就是把加法运算，转化为多项式的次数来做乘法/卷积。思想类似于(分治)FFT等
• 时间复杂度为Θ(n3)\large \Theta(n^3)Θ(n3)

• AC code

  #include <cstdio>
  #include <cstring>
  #include <cmath>
  #include <algorithm>
  using namespace std;
  const int MAXN = 121;
  int n, ans[MAXN], tmp[MAXN];
  int main ()
  {
  	while(~scanf("%d", &n))
  	{
  		for(int i = 0; i <= n; ++i)
  			ans[i] = 1, tmp[i] = 0;
  		for(int i = 2; i <= n; ++i)
  		{
  			for(int j = 0; j <= n; j+=i)
  				for(int k = 0; k + j <= n; ++k)
  					tmp[j+k] += ans[k];
  			for(int j = 0; j <= n; ++j)
  				ans[j] = tmp[j], tmp[j] = 0;
  		}
  		printf("%d\n", ans[n]);
  	}
  }