题解 洛谷P2258 【子矩阵】

应该很容易想到暴力骗分。

我们考虑暴力\(dfs\)枚举所有行的选择，列的选择，每次跑一遍记下分值即可。

时间复杂度：\(O(C_n^r \times C_m^c \times r \times c)\)

可以水过\(60pts\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 1000000007
using namespace std;
inline int read(){
    register int s=0,f=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f*=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return s*f;
}
const int N=20;
int n,m,r,c,ans=INF;
int a[N][N],fh[N],fl[N];
int solve(){
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=r;i++){
		for(int j=1;j<c;j++){
			sum+=abs(a[fh[i]][fl[j]]-a[fh[i]][fl[j+1]]);
		}
	}
	for(int j=1;j<=c;j++){
		for(int i=1;i<r;i++){
			sum+=abs(a[fh[i]][fl[j]]-a[fh[i+1]][fl[j]]);
		}
	}
	return sum;
}
void dfsl(int dep,int cnt){
	if(cnt>c){ans=min(ans,solve());return;}
	if(dep>m)return;
	fl[cnt]=dep;dfsl(dep+1,cnt+1);
	fl[cnt]=0;dfsl(dep+1,cnt);
}
void dfsh(int dep,int cnt){
	if(cnt>r){dfsl(1,1);return;}
	if(dep>n)return;
	fh[cnt]=dep;dfsh(dep+1,cnt+1);
	fh[cnt]=0;dfsh(dep+1,cnt);
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
    n=read(),m=read(),r=read(),c=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	for(int j=1;j<=m;j++){
    		a[i][j]=read();
		}
	}
	dfsh(1,1);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

【算法分析】

我们依然先来枚举行的选择，于是接下来问题就转化成了：

• 一个\(r \times m\)的矩阵选\(c\)列，使其分值最小。

显然，这是一个\(01\)选择列的问题，所以我们直接\(dp\)就好了。

设状态\(dp[i][j]\)表示当前选择第\(i\)列的同时已经选择了\(j\)列的最小分数。

接下来我们预处理好两个东西：

• \(up[i]\)表示在当前行选择下第\(i\)列的总分值。

• \(num[i][j]\)表示在当前行选择下连接第\(i\)列和第\(j\)列的分值。

那么对于第\(dp[i][j]\)，我们只需再枚举一个第\(k\)列。当连接第\(k\)列和第\(i\)列时，价值即为本身第\(i\)列的分值\(up[i]\)和连接两列的分值\(num[i][k]\)。

于是不难推出：

\[dp[i][j]=min\{ dp[k][j-1]+up[i]+num[k][i] \}
\]

\[i \in [1,m],j\in[2,min(i,c)],k \in[1,i)
\]

边界处理：

\[dp=\{0x7f\},dp[i][1]=up[i]
\]

更新最小分值：

\[ans=min\{dp[i][c]\}
\]

时间复杂度：\(O(C_n^r \times m^2n)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 1000000007
using namespace std;
inline int read(){
    register int s=0,f=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f*=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return s*f;
}
const int N=20;
int n,m,r,c,ans=INF;
int a[N][N],f[N],up[N],num[N][N],dp[N][N];
void solve(){
	memset(up,0,sizeof(up));
	memset(num,0,sizeof(num));
	for(int j=1;j<=m;j++){
		for(int i=1;i<r;i++){
			up[j]+=abs(a[f[i]][j]-a[f[i+1]][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=i+1;j<=m;j++){
			for(int k=1;k<=r;k++){
				num[i][j]+=abs(a[f[k]][i]-a[f[k]][j]);
			}
		}
	}
	memset(dp,0x7f,sizeof(dp));
	int tot=INF;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		dp[i][1]=up[i];
		for(int j=2;j<=min(i,c);j++){
			for(int k=1;k<i;k++){
				dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+up[i]+num[k][i]);
			}
		}
		tot=min(tot,dp[i][c]);
	}
	ans=min(ans,tot);
}
void dfs(int dep,int cnt){
	if(cnt>r){solve();return;}
	if(dep>n)return;
	f[cnt]=dep;dfs(dep+1,cnt+1);
	f[cnt]=0;dfs(dep+1,cnt);
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
    n=read(),m=read(),r=read(),c=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	for(int j=1;j<=m;j++){
    		a[i][j]=read();
		}
	}
	dfs(1,1);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

\(\operatorname{Update}\) \(\operatorname{On}\) \(\operatorname{2019.10.29}\)