test20190731 夏令营NOIP训练16

0+90+0=90。我只挑了T2做。

连接格点

有一个M行N列的点阵，相邻两点可以相连。一条纵向的连线花费一个单位，一条横向的连线花费两个单位。某些点之间已经有连线了，试问至少还需要花费多少个单位才能使所有的点全部连通。

输入格式：

第一行输入两个正整数m和n。

以下若干行每行四个正整数x1,y1,x2,y2，表示第x1行第y1列的点和第x2行第y2列的点已经有连线。输入保证|x1-x2|+|y1-y2|=1。

输出格式：

输出使得连通所有点还需要的最小花费。

样例输入：

2 2

1 1 2 1

样例输出：

3

数据范围：

m,n<=1000

时间限制：

1000

空间限制：

32768

最小生成树，而且不用排序了。

无序字母对

给定n个各不相同的无序字母对（区分大小写，无序即字母对中的两个字母可以位置颠倒）。请构造一个有n+1个字母的字符串使得每个字母对都在这个字符串中出现。

输入格式：

第一行输入一个正整数n。

以下n行每行两个字母，表示这两个字母需要相邻。

输出格式：

输出满足要求的字符串。

如果没有满足要求的字符串，请输出“No Solution”。

如果有多种方案，请输出前面的字母的ASCII编码尽可能小的（字典序最小）的方案

样例输入：

4

aZ

tZ

Xt

aX

样例输出：

XaZtX

数据范围：

不同的无序字母对个数有限，n的规模可以通过计算得到。

时间限制：

1000

空间限制：

32768

题解

题意很清晰了，显然是求字典序最小的欧拉回路方案，但是我都忘了欧拉回路这回事。

手动模拟

发现合法情况一定是度数为奇数的点的个数为0或2。如果是0那就找最小的，如果是2那就找度数为奇数的最小的。

然后发现中间合并两个无序对，度数的变化是偶数2，所以一定有解。然后用set维护找字典序最小的即可。

但是交到洛谷1341发现WA了。然后看数据，发现了这种情况：

5

ax

xx

xt

tp

ps

也就是自环。在ax的时候x优先选择走t，但是之后就走不到x了。

所以在选择字典序较小的之前还要判断x下一个是否必须走到自己。这个就把其他点连回x的边数考虑一下就好了，把x放到后面边数至少为3。

最后还是有一个点莫名RE，而学军中学的数据好像是一样的，所以这题就是90分了。

#include<bits/stdc++.h>
#define co const
#define il inline
template<class T> T read(){
	T x=0,w=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*w;
}
template<class T>il T read(T&x){
	return x=read<T>();
}
using namespace std;

co int N=52;
il int idx(char c){
	return islower(c)?26+c-'a':c-'A';
}
il char inv(int i){
	return i<26?i+'A':i-26+'a';
}

int n,c[N];
multiset<int> s[N];
multiset<int>::iterator it;
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		char p[3];scanf("%s",p);
		++c[p[0]=idx(p[0])],++c[p[1]=idx(p[1])];
		s[p[0]].insert(p[1]),s[p[1]].insert(p[0]);
	}
	int cnt=0;
	for(int i=0;i<N;++i)
		if(c[i]&1) ++cnt;
	if(cnt!=0&&cnt!=2) return puts("No Solution"),0;
	char ans[3000];
	if(cnt==0){
		for(int i=0;i<N;++i)
			if(c[i]>=2){ans[0]=i,c[i]-=1;break;}
	}
	else{
		for(int i=0;i<N;++i)
			if(c[i]&1){ans[0]=i,c[i]-=1;break;}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(s[ans[i-1]].count(ans[i-1])){ // edit 1
			int cnt=0;
			for(int j=0;j<N;++j)if(j!=ans[i-1])
				cnt+=s[j].count(ans[i-1]);
			if(cnt<3){
				ans[i]=ans[i-1],c[ans[i]]-=2;
				s[ans[i]].erase(s[ans[i]].find(ans[i])),s[ans[i]].erase(s[ans[i]].find(ans[i]));;
				continue;
			}
		}
		int cnt=0;
		it=s[ans[i-1]].begin();
		if(i<n&&c[*it]==1) ++it;
		ans[i]=*it,c[ans[i]]-=2; // i==n doesn't matter
		s[ans[i-1]].erase(s[ans[i-1]].find(ans[i])),s[ans[i]].erase(s[ans[i]].find(ans[i-1]));
	}
	for(int i=0;i<=n;++i) ans[i]=inv(ans[i]);
	ans[n+1]=0;
	puts(ans);
	return 0;
}
/*
5
ax
xx
xt
tp
ps
*/

欧拉回路

欧拉回路算法直接就可以解决这个问题。

欧拉回路是在回溯的时候把路径的答案加进去。这样在x之后如果能回来，先走的就是字典序较小的；如果不能，先走的就是x。

感觉理解深入了不少。时间复杂度\(O(n \log n)\)。

数字转换

如果一个数x的约数和（不包括它本身，下同）比它本身小，那么x可以变成它的约数和；如果对于某个y>x且y的约数和为x，那么x也可以变成y。例如，4可以变为3，1可以变为7。限定所有的数字变换在不超过n的正整数范围内进行，求不断进行数字变换且没有重复数字出现的最多变换步数。

输入格式：

输入一个正整数n。

输出格式：

输出最少需要花费的时间。

样例输入：

7

样例输出：

3

数据范围：

n<=50 000。

时间限制：

1000

空间限制：

32768

题解

只能向较小的连无向边，所以最后图一定是森林。

然后跑树的直径就可以了。

可以用来练习线性筛求约数和（误）。

线性筛的第二重循环中要筛出来的数\(x=i\times p_j\)最小质因子一定是现在枚举的\(p_j\)，此时分为两种情况：

• \(i\)没有质因子\(p_j\)，那么直接计算即可。
• \(i\)有质因子\(p_j\)，那么应该修改\(p_j\)的贡献。所以需要记录每个数的最小质因子对它的约数和的贡献。

然后时间复杂度\(O(n)\)。