学习：费马小定理 & 欧拉定理

费马小定理

描述

若\(p\)为素数，\(a\in Z\)，则有\(a^p\equiv a\pmod p\)。如果\(p\nmid a\)，则有\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。

证明

费马小定理的证法有很多，此处介绍3种

证法一

摘自：《初等数论》 冯志刚 著，有改动

此处用归纳法证明。

当\(a=1\)时，原命题显然成立。

设\(a=n\)时命题成立，即\(n^p\equiv n\pmod p\)，故\(n^p-n\equiv 0\pmod p\)。

考虑二项式系数\(C^k_p=\frac{p!}{k!(p-k)!}\)，若\(k\)不为\(p\)或\(0\)，由于分子有质数\(p\)，但分母不含\(p\)，故分子的\(p\)能保留，不被约分而除去，即\(C^k_p\)恒为\(p\)的倍数。

故有

\[(n+1)^p-(n+1)=n^p+C^1_pn^{p-1}+\cdots+C^{p-1}_pn-n\equiv n^p-n\equiv 0\pmod p
\]

所以对于任意\(a\in N_+\)，有\(p\mid (a^p-a)\)，故有\(a^p\equiv a\pmod p\)。

证法二

摘自： Wikipedia，有改动

与证法一类似，先证明当\(p\)是质数时\(C^k_p\)恒为\(p\)的倍数。

然后就可以得到

\[(b+1)^p\equiv b^p+1\equiv (b-1)^p+1+1 \equiv (b-1)^{p}+1+1\equiv (b-2)^{p}+1+1+1\equiv (b-2)^{p}+1+1+1\equiv (b-3)^{p}+1+1+1+1\equiv (b-3)^{p}+1+1+1+1\equiv \dots\equiv {\begin{matrix}\underbrace {1+1+\dots +1+1}\\b+1\end{matrix}}\equiv b+1\pmod p
\]

当\(b=a-1\)时，可得\(a^p\equiv a\pmod p\)

证法三

摘自：Matrix67的博客

首先我们证明这样一个结论：如果\(p\)是一个素数的话，那么对任意一个小于\(p\)的正整数\(a\)，\(a, 2a, 3a,\cdots, (p-1)a\)除以\(p\)的余数正好是一个\(1\)到\(p-1\)的排列。

假如结论不成立的话，那么就是说有两个小于\(p\)的正整数\(m\)和\(n\)使得\(na\)和\(ma\)除以\(p\)的余数相同。不妨假设\(n>m\)，则\(p\)可以整除\(a(n-m)\)。由于\(p\)是素数，那么\(a\)和\(n-m\)中至少有一个含有因子\(p\)。这显然是不可能的，因为\(a\)和\(n-m\)都比\(p\)小。

故：

\[(p-1)!\equiv a\times 2a\times 3a\times\cdots\times (p-1)a\pmod p
\]

也即：

\[(p-1)! ≡ (p-1)! * a^{p-1}\pmod p
\]

两边同时除以\((p-1)!\)，就得到了我们的最终结论：

\[1 ≡ a^{p-1}\pmod p
\]

应用

例题：LJJ算数

原题链接

在我的洛谷博客上查看

题目描述

LJJ刚上完了一节课！这节课是数学课！他知道了加减属于一级运算，乘除属于二级运算，幂则属于三级运算，而幂的优先级>乘除的优先级>加减的优先级（这是几年级的数学课）。但是，从上一套试卷+上一题中，我们知道了LJJ是一个总是突发奇想并且智商不够的人（也就是说他又想出一个问题给你咯）。他发明了一种四级运算，我们姑且用符号#来表示（找不到别的符号了）。我们知道\(a\times b=a+a+a+\cdots+a\)（加b次），\(a^b=a\times a\times a\times a\times \cdots \times a\)（乘b次），则\(a\#b=((((a^a)^a)^a)^ \cdots )^a\)(进行幂运算b次)，自然，#的优先级比幂的优先级高。那么，LJJ就请你来帮他求\(a\#b \mod {1000000007}\)咯。

输入格式：

输入仅1行，即\(a,b\)。

输出格式：

输出仅1行，即\(a\#b \mod 1000000007\)。

输入输出样例

输入样例#1：

3 5

输出样例#1：

968803245

说明

首先说明，样例答案不mod其实是4.4342648824303776994824963061915e+38（来自出题人的恶意）

然后，数据范围：

对于20%的数据，\(a\le1000,b\le1000\)

对于50%的数据，\(a\le 10^{16},b\le 10000\)

对于100%的数据，\(a\le 10^{16},b\le 10^{16}\)

题解

由费马小定理，得

\[a^k\equiv \frac{a^k}{a^{p-1}}=a^{k-(p-1)}\pmod p
\]

由此递归式，易知

\[a\# b=((((a)^a)^a)\cdots)^a=a^{a^{b-1}}\equiv a^{a^{b-1}\mod {p-1}}\pmod p
\]

于是用两次快速幂+取模即可。

代码

#include <cstdio>

typedef long long LL;

inline LL pow_mod(LL a, LL b, LL mod)//快速幂模板
{
	a %= mod;
	LL ans = 1;
	for(; b; b >>= 1,a *= a,a %= mod)
		if(b & 1)
			ans = ans*a%mod;
	return ans%mod;
}

const LL mod = 1e9+7;

int main()
{
	LL a,b;
	scanf("%lld%lld", &a, &b);
	printf("%lld", pow_mod(a, pow_mod(a, b-1, mod-1), mod));
	return 0;
}

求数论倒数

数论倒数也称为模倒数，或者模逆元。若\(ab\equiv 1\pmod p\)，则称\(b\)是\(a\)的数论倒数，亦可写作\(a^{-1}\equiv b\pmod p\)。

若\(p\)是素数，则\(a^{p-1}=a\times a^{p-2}\equiv 1\pmod p\)，故\(a^{-1}\equiv a^{p-2}\pmod p\)。

但要注意前提条件是\(p\)是素数。

欧拉定理

同余类、剩余系、欧拉函数

对于任意整数，我们将它模\(n\)，结果必定为\(0\)到\(n-1\)的整数之一。那么，我们可以把所有模\(n\)后同余的数看成一个集合，那么我们就把整数分成了\(n\)个集合，我们把这样的模\(n\)同余的所有整数组成的集合（即上述中的任意一个集合）称为同余类，标记为\({\overline {a}}_{n}\)，假若从上下文知道模\(n\)，则也可标记为\([a]\)。

那么，模\(n\)的同余类有\(n\)个，我们如何表示它们呢？和并查集的思想一样：任取集合中的一个数作为集合的代表元素。我们所取的那个元素就被称为该同余类的代表数。显然，同余类中的每个元素都可以作为该同余类的代表数。

剩余系指的是模\(n\)同余类的代表数集合。一个完全剩余系（完系）指的是模\(n\)的全部同余类的代表数的集合。例如，模\(3\)有三个同余类\([0],[1],[2]\)，其完系可以是\(\{9,12+1,15+2\}\)。如果该集合是由每个同余类的最小非负整数所组成，亦即$ {0,1,2,...,n-1}\(，则称该集合为模\)n\(的**非负最小完全剩余系**。模\)n\(完整余数系统中，与模\)n\(互质的代表数所构成的集合，称为模\)n$的简化剩余系（简系）。

与\(m\)互素的所有模\(m\)的同余类的个数记为\(\varphi(n)\)，通常称为欧拉函数。显然，\(\varphi(n)\)等于\(1,2,\cdots,m\)中与\(m\)互素的个数。

若\((a,m)=1\)，而\(a_1,a_2,\cdots,a_{\varphi(m)}\)构成模\(m\)的一个简系，则我们可以证明\(aa_1,aa_2,\cdots,aa_{\varphi(m)}\)也是模\(m\)的简系。

欧拉定理

若\((a,n)=1\)，则\(a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n\)。（这里\(n\in N_+,a\in Z\)）

证明

设\(a_1,a_2,\cdots,a_{\varphi(n)}\)是模\(n\)的简系，则由\((a,m)=1\)，可知\(aa_1,aa_2,\cdots,aa_{\varphi(n)}\)也是模\(n\)的简系。因此，$$\prod^{\varphi(n)}{i=1}a_i\equiv \prod^{\varphi(n)}{i=1}aa_i\pmod n,$$即$$m\mid (\prod^{{\varphi(n)}_{i=1}a_i)(a}{\varphi(n)}-1).$$又因为\((a_i,m)=1\)，故$$a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n.$$

就先写到这儿吧，欧拉定理的应用以后再说。

参考资料

Wikipedia

主要参考了：

Fermat's little theorem

Euler's theorem

同余

《初等数论》 冯志刚 著

主要参考了：

2.2 同余类与剩余系

2.3 费马小定理与欧拉定理

Matrix67的博客——数论部分第一节：素数与素性测试