原文见:https://leetcode.com/problems/couples-holding-hands/discuss/113362/JavaC%2B%2B-O(N)-solution-using-cyclic-swapping

一、问题引入

假设有一个长度为N的数组nums包含0—N-1的所有数字,但是数组中数字的顺序是随机的。可以任选两个数字进行交换,问最少要用多少步能够使数组满足 i==nums[i](即使数组递增有序)。

二、Cyclic Swapping

使用cyclic swapping的解法:

1.第一步是将N个下标划分为互斥的几个group,每个group是一个环:i0 --> i1 --> ... --> ik --> i0,

其中i0-->i1表示下标为i0的元素应放在i1的位置(即nums[i0]==i1)。

例子:

    row: 2, 3, 1, 0, 5, 4

    idx:  0, 1, 2, 3, 4, 5

对于上例:

  nums[0]=2, 得0-->2;nums[2]=1,得2-->1;nums[1]=3,得1-->3;nums[3]=0,得3-->0;

  综上得:0-->2-->1-->3-->0;

  同理还可得:4-->5-->4。

这一步的算法:对任意数组nums,对于一个未访问过的下标i0,计算i1使得nums[i0]==i1,接着从i1开始计算i2使得nums[i1]==i2,以此下去,得到 i0 --> i1 --> i2 --> ... --> ik。需要证明该链会从i0开始循环。

此时需证明:

1.最终i0 --> i1 --> i2 --> ... --> ik会循环。

2.且这个环从i0开始循环。

如下图:

证明1:如果i0 --> i1 --> i2 --> ... --> ik 不会形成环,按照该链生成的规则一直生成下一个i,那么最终会生成一个含有N+1个元素的链,这与题目矛盾。所以该链一定是一个环。

证明2:假设环从一个不为i0的下标j开始循环,那么会形成下图所示,i2-->j且im-->j,则nums[i2]==nums[im],这与题设矛盾。所以该环一定从i0开始循环。

假设现在有两个不同的group,那么两个group一定互斥。因为如果两个group中都存在一个下标j,那么可以根据之前提到的group的生成算法从j开始构造两个group,又因为生成的每一个index仅与它的前驱有关(index==nums[pre]),所以生成的两个group一定是一样的。

2.要使大小为k的group有序(nums[i]==i),最少需要k-1步。group的大小定义为group环中元素个数。

使用数学归纳法证明:

1) 假设group的大小为1,代表已经满足nums[i]==i,需要0步使其有序。所需步数为group的大小减1.

2) 假设group的大小为m时,需m-1步使之有序(1 <= m <= k)

3) 对于大小为k+1的group而言,可以使用一次交换操作将其划分为两个互斥的group1和group2,大小分别为k1和k2,k1+k2==k+1,1 <= k1, k2 <= k:任选下标i和j,将nums[i]和nums[j]交换,交换效果如下图:

因为2)的缘故,解决group1需要k1-1步,解决group需要k2-1,故解决group的步数为

k1-1+k2-1+1 == k1+k2-1 == k+1-1 == k;

得证:使大小为k的group有序,最少需要k-1步。

综上所述,通过对解决每个group所需的最小交换数求和,可以得到使整个数组有序所需的最小交换数。为了解决每个group,我们可以任意地在group中选择任意两个不同的index并交换indexs上的元素,从而将group缩减为两个较小的不相交的group。在实践中,我们总是可以选择一个pivot,并不断地与它的期望的index交换,直到pivot上的数与期望index相同为止,这意味着整个group被解决,group内的所有nums[i]==i。


相关题目:

leetcode 41 fisrt missing positive: https://www.cnblogs.com/jasonlixuetao/p/10776564.html

leetcode 268 missing number:https://www.cnblogs.com/jasonlixuetao/p/10776701.html

cyclic swapping algorithm的更多相关文章

  1. leetcode_41. First Missing Positive_cyclic swapping

    https://leetcode.com/problems/first-missing-positive/ 给定一个长度为len的无序数组nums,找到其第一个丢失的正整数. 解法: 使用cyclic ...

  2. leetcode_268.missing number

    给定一个数组nums,其中包含0--n中的n个数,找到数组中没有出现的那个数. 解法一:cyclic swapping algorithm class Solution { public: int m ...

  3. LeetCode765. Couples Holding Hands

    N couples sit in 2N seats arranged in a row and want to hold hands. We want to know the minimum numb ...

  4. [LeetCode] 765. Couples Holding Hands 情侣牵手

    N couples sit in 2N seats arranged in a row and want to hold hands. We want to know the minimum numb ...

  5. [codeforces 901E] Cyclic Cipher 循环卷积-Bluestein's Algorithm

    题目大意: 传送门 给两个数列${B_i}.{C_i}$,长度均为$n$,且${B_i}$循环移位线性无关,即不存在一组系数${X_i}$使得对于所有的$k$均有$\sum_{i=0}^{n-1} X ...

  6. codeforces 709C C. Letters Cyclic Shift(贪心)

    题目链接: C. Letters Cyclic Shift 题意: 现在一串小写的英文字符,每个字符可以变成它前边的字符即b-a,c-a,a-z这样,选一个字串变换,使得得到的字符串字典序最小; 思路 ...

  7. algorithm之改变序列算法--待解决

    简述:改变序列算法,参见http://www.cplusplus.com/reference/algorithm/?kw=algorithm 待解决问题:iterator_traits.std::mo ...

  8. hdu 1853 Cyclic Tour 最小费用最大流

    题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1853 There are N cities in our country, and M one-way ...

  9. [POJ 1674] Sorting by Swapping

    Sorting by Swapping Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 9514   Accepted: 50 ...

随机推荐

  1. DP专辑之线性DP

    POJ1390 题目链接:http://poj.org/problem?id=1390 分类:记忆化搜索 dp[i][j][k] 表示,从i到j块且j后面有k块与第j块的颜色一样.dp[l][r][k ...

  2. codevs1258关路灯

    传送门 1258 关路灯  时间限制: 1 s  空间限制: 128000 KB  题目等级 : 大师 Master   题目描述 Description 多瑞卡得到了一份有趣而高薪的工作.每天早晨他 ...

  3. Laravel 5.4 中的异常处理器和HTTP异常处理实例教程

    错误和异常是处理程序开发中不可回避的议题,在本地开发中我们往往希望能捕获程序抛出的异常并将其显示打印出来,以便直观的知道程序在哪里出了问题并予以解决,而在线上环境我们不希望将程序错误或异常显示在浏览器 ...

  4. mfc实现对话框全屏置顶显示

    一.MFC让对话框窗口始终在最前 方法一:在对话框的属性中,把SystemModal设置为True. 二.全屏显示 在CDialog7::OnInitDialog()中加入: 先取得分辨率, int ...

  5. 6-9 Haar+adaboost人脸识别

    我们重点分析了Haar特征的概念以及如何计算Haar特征,并介绍了Haar+Adaboost分类器它们的组合以及Adaboost分类器如何使用和训练.这节课我们将通过代码来实现一下Haar+Adabo ...

  6. UVaLive 6950 && Gym 100299K Digraphs (DFS找环或者是找最长链)

    题意:有n个只包含两个字母的字符串, 要求构造一个m*m的字母矩阵, 使得矩阵的每行每列都不包含所给的字符串, m要尽量大, 如果大于20的话构造20*20的矩阵就行了. 析:开始吧,并没有读对题意, ...

  7. SCUT - 254 - 欧洲爆破 - 概率dp - 状压dp

    https://scut.online/p/254 思路很清晰,写起来很恶心. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define l ...

  8. poj1308【并查集】

    = =.如果输入的两个数相等.就不是一颗树啊,不能自己指向自己. 水.(瞎开的数组). //#include <bits/stdc++.h> #include<iostream> ...

  9. Python 爬虫面试题 170 道:2019 版

    引言 最近在刷面试题,所以需要看大量的 Python 相关的面试题,从大量的题目中总结了很多的知识,同时也对一些题目进行拓展了,但是在看了网上的大部分面试题不是很满意,一个是有些部分还是 Python ...

  10. PHP读取MySQL数据

    方法/步骤     先配置一下数据库: define("DB_HOST","localhost");//数据库地址,一般为localhost define(&q ...