cyclic swapping algorithm

原文见：https://leetcode.com/problems/couples-holding-hands/discuss/113362/JavaC%2B%2B-O(N)-solution-using-cyclic-swapping

一、问题引入

假设有一个长度为N的数组nums包含0—N-1的所有数字，但是数组中数字的顺序是随机的。可以任选两个数字进行交换，问最少要用多少步能够使数组满足 i==nums[i]（即使数组递增有序）。

二、Cyclic Swapping

使用cyclic swapping的解法：

1.第一步是将N个下标划分为互斥的几个group，每个group是一个环：i0 --> i1 --> ... --> ik --> i0，

其中i0-->i1表示下标为i0的元素应放在i1的位置（即nums[i0]==i1）。

例子：

　　　　row: 2, 3, 1, 0, 5, 4

　　　　idx:  0, 1, 2, 3, 4, 5

对于上例：

　　nums[0]=2, 得0-->2；nums[2]=1,得2-->1；nums[1]=3,得1-->3；nums[3]=0,得3-->0;

　　综上得：0-->2-->1-->3-->0；

　　同理还可得：4-->5-->4。

这一步的算法：对任意数组nums，对于一个未访问过的下标i0，计算i1使得nums[i0]==i1，接着从i1开始计算i2使得nums[i1]==i2，以此下去，得到 i0 --> i1 --> i2 --> ... --> ik。需要证明该链会从i0开始循环。

此时需证明：

1.最终i0 --> i1 --> i2 --> ... --> ik会循环。

2.且这个环从i0开始循环。

如下图：

证明1：如果i0 --> i1 --> i2 --> ... --> ik 不会形成环，按照该链生成的规则一直生成下一个i，那么最终会生成一个含有N+1个元素的链，这与题目矛盾。所以该链一定是一个环。

证明2：假设环从一个不为i0的下标j开始循环，那么会形成下图所示，i2-->j且im-->j,则nums[i2]==nums[im]，这与题设矛盾。所以该环一定从i0开始循环。

假设现在有两个不同的group，那么两个group一定互斥。因为如果两个group中都存在一个下标j，那么可以根据之前提到的group的生成算法从j开始构造两个group，又因为生成的每一个index仅与它的前驱有关（index==nums[pre]），所以生成的两个group一定是一样的。

2.要使大小为k的group有序（nums[i]==i），最少需要k-1步。group的大小定义为group环中元素个数。

使用数学归纳法证明：

1) 假设group的大小为1，代表已经满足nums[i]==i，需要0步使其有序。所需步数为group的大小减1.

2) 假设group的大小为m时，需m-1步使之有序（1 <= m <= k）

3) 对于大小为k+1的group而言，可以使用一次交换操作将其划分为两个互斥的group1和group2，大小分别为k1和k2，k1+k2==k+1，1 <= k1, k2 <= k：任选下标i和j，将nums[i]和nums[j]交换，交换效果如下图：

因为2)的缘故，解决group1需要k1-1步，解决group需要k2-1，故解决group的步数为

k1-1+k2-1+1 == k1+k2-1 == k+1-1 == k;

得证：使大小为k的group有序，最少需要k-1步。

综上所述，通过对解决每个group所需的最小交换数求和，可以得到使整个数组有序所需的最小交换数。为了解决每个group，我们可以任意地在group中选择任意两个不同的index并交换indexs上的元素，从而将group缩减为两个较小的不相交的group。在实践中，我们总是可以选择一个pivot，并不断地与它的期望的index交换，直到pivot上的数与期望index相同为止，这意味着整个group被解决，group内的所有nums[i]==i。

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