AtCoder Grand Contest 005F - Many Easy Problems

$n \leq 200000$的树，从树上选$k$个点的一个方案会对$Ans_k$产生大小为“最小的包括这$k$个点的连通块大小”的贡献。求每个$Ans_k$。膜924844033。

看每个点对$Ans_k$的贡献，那就是他在最小$k$连通块里的方案数。画画图可以发现，以他为根时，如果$k$个点都在他同一个儿子的子树里，那就是不包括这个点的，否则就是包括这个点的。“正难♂取反”，所以一个点的贡献就是$\binom{n}{k}-\sum \binom{s(i,j)}{k}$，其中$s(i,j)$表示以$i$为根，子树$j$的大小。这样可以$n^2$。

现在$Ans_k=n\binom{n}{k}-\sum \binom{s(i,j)}{k}$，瓶颈在后面那坨。由于$s(i,j)$的取值只有$0~n$且只有$2(n-1)$个，因此可以dfs一次记$cnt_i=\sum_{s(j,k)=i}1$，有$\sum \binom{s(i,j)}{k}=\sum_{i=1}^n cnt_i\binom{i}{k}$。记$\sum \binom{s(i,j)}{k}=B_k$，因此$k!B_k=\sum_{i=1}^ncnt_i\frac{i!}{(i-k)!}$，棒，一卷积。

924844033原根5。

 //#include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 //#include<time.h>
 //#include<complex>
 #include<algorithm>
 #include<stdlib.h>
 using namespace std;

 #define LL long long
 int qread()
 {
     char c; int s=; while ((c=getchar())<'' || c>'');
     do s=s*+c-''; while ((c=getchar())>='' && c<=''); return s;
 }

 //Pay attention to '-' and LL of qread!!!!

 int n;
 #define maxn 531111
 const int mod=,G=; int rev[maxn];
 struct Edge{int to,next;}edge[maxn<<]; int first[maxn],le=;
 void in(int x,int y) {Edge &e=edge[le]; e.to=y; e.next=first[x]; first[x]=le++;}
 void insert(int x,int y) {in(x,y); in(y,x);}

 int B[maxn],A[maxn],D[maxn],Ans[maxn],cnt[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
 int C(int n,int m) {return 1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}

 int powmod(int a,int b)
 {
     int ans=;
     while (b) {if (b&) ans=1ll*ans*a%mod; a=1ll*a*a%mod; b>>=;}
     return ans;
 }

 void dft(int *a,int n,int type)
 {
     int wei=; while ((<<wei)!=n) wei++;
     for (int i=;i<n;i++)
     {
         rev[i]=;
         for (int j=;j<wei;j++) rev[i]|=((i>>j)&)<<(wei-j-);
     }
     for (int i=;i<n;i++) if (i<rev[i]) a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]];
     for (int i=;i<n;i<<=)
     {
         int t=powmod(G,(mod-)/(i*));
         if (type==-) t=powmod(t,mod-);
         for (int j=,p=i<<;j<n;j+=p)
         {
             int tmp=;
             for (int k=;k<i;k++,tmp=1ll*tmp*t%mod)
             {
                 int now=1ll*tmp*a[j+k+i]%mod;
                 a[j+k+i]=(a[j+k]+mod-now)%mod;
                 a[j+k]=(a[j+k]+now)%mod;
             }
         }
     }
     if (type==-)
     {
         int ni=powmod(n,mod-);
         for (int i=;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*ni%mod;
     }
 }

 void mul(int *a,int *b,int *c,int n)
 {
     dft(a,n,); dft(b,n,);
     for (int i=;i<n;i++) c[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
     dft(c,n,-);
 }

 int size[maxn];
 void dfs(int x,int fa)
 {
     size[x]=;
     for (int i=first[x];i;i=edge[i].next)
     {
         Edge &e=edge[i]; if (e.to==fa) continue;
         dfs(e.to,x); size[x]+=size[e.to];
         cnt[size[e.to]]++; cnt[n-size[e.to]]++;
     }
 }

 int main()
 {
     n=qread();
     for (int i=,x,y;i<n;i++) {x=qread(); y=qread(); insert(x,y);}
     dfs(,);

     fac[]=; for (int i=;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
     inv[n]=powmod(fac[n],mod-); for (int i=n;i;i--) inv[i-]=1ll*inv[i]*i%mod;
     for (int i=;i<=n;i++) B[n-i+]=1ll*cnt[i]*fac[i]%mod;
     for (int i=;i<=n;i++) A[i]=inv[i];
     int mm=; for (;mm<=(n+n);mm<<=);
     mul(B,A,D,mm);
     for (int i=;i<=n;i++) Ans[i]=1ll*inv[i]*D[n+-i]%mod;

     for (int i=;i<=n;i++) Ans[i]=(1ll*n*C(n,i)%mod+mod-Ans[i])%mod;
     for (int i=;i<=n;i++) printf("%d\n",Ans[i]);
     return ;
 }