CF450B Jzzhu and Sequences 题解

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有一个长度为 \(n\) 的数列 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)，满足如下的递推公式：

• \(i=1\) 时，\(a_1=x\)。
• \(i=2\) 时，\(a_2=y\)。
• \(i\geqslant 3\) 时，\(a_i=a_{i-1}+a_{i+1}\)。

求 \(a_n\bmod 10^9+7\) 的值。

数据范围：\(1\leqslant n\leqslant 2\times 10^9\)，\(|x|,|y|\leqslant 10^9\)。

Solution

对于 \(i\geqslant 3\)，我么不妨将这个式子移项，得到 \(a_{i+1}=a_i-a_{i-1}\)。然后先写下如下式子：

\[\begin{aligned}a_3=a_2-a_1&=y-x\\a_4=a_3-a_2&=(y-x)-y=-x\\a_5=a_4-a_3&=-x-(y-x)=-y\\a_6=a_5-a_4&=-y-(-x)=x-y\\a_7=a_6-a_5&=x-y-(-y)=x\color{red}=a_1\\a_8=a_7-a_6&=x-(x-y)=y\color{Red}=a_2\end{aligned}
\]

我们发现，当 \(i=7\) 的时候，\(a_7\) 的值又变回了 \(a_1\)。因此我们发现了一个长度为 \(6\) 的循环节。那么 \(a_i\) 也就不难表示出来了：

\[a_i=\begin{cases}x&i\bmod 6=1\\y&i\bmod 6=2\\y-x&i\bmod 6=3\\-x&i\bmod 6=4\\-y&i\bmod 6=5\\x-y&i\bmod 6=0\end{cases}
\]

直接根据这个公式计算 \(a_n\) 即可，即为 \(a_{n\bmod 6}\)，注意对负数取模时，先加上模数再去取模。

Code

const int mod = 1e9 + 7;
int f[7];
int main() {
    int x = Rint, y = Rint, n = Rint;
    f[1] = x, f[2] = y, f[3] = y - x, f[4] = -x, f[5] = -y, f[6] = x - y;
    return write((f[(n - 1) % 6 + 1] % mod + mod) % mod), 0;
}