Assignment Problem的若干思考

 

最近受到南京一个同学的push，又开始了博客园写作之旅。欢迎大家联系我做代码实现工作，QQ：1198552514。权当赚点生活费~

我的研究也经常用的Assignment problem，而且很多问题都能转化为指派问题。比如轮灌和滴灌问题（对喷头分组，每组喷头负责一部分区域，从而使得区域覆盖最大，同时还有很多其他约束），这个问题在国内尚属空白，而且找不到任何代码~笔者已经实现了均衡约束的轮灌、滴灌算法~当时帮新疆的一个同学做的（基于粒子群），没想到我竟然真的做了出来~所以你只要给我数学模型或者说让我听懂你的问题就能帮你做出来

粒子群的帖子：  https://www.cnblogs.com/hxsyl/p/4521778.html

1. 问题陈述

指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n件事，各人做不同的事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作效率（如熟练程度等），怎样安排会使总销量达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值。

假设有n件工作分派给n个人来做，每项工作只能由一人来做，每个人只能做一项工作。若给出各人对各项工作所具有的工作效率。问应该如何安排人选，及发挥个人特长又能使总的效率最大。为此用0-1整数规划来实现指派问题即如何安排人选。

2. 指派问题的背景

在现实生活中，有各种性质的指派问题（Assignment  Problem）。例如，在生产管理中，总希望把人员进行最佳分配，以发挥最大的工作效率；某部门有n项任务要完成，而该部门正好有n个人可以分别去完成其中任何一项，但由于任务性质和个人的专长不同，因此各人完成各项不同任务的效益（所费时间或所花费用）也有差别，如果分配每个人完成一项任务且仅为一项任务，则把每项任务分配给哪个人去完成，使完成所有n项任务的总效益为最高（总时间、总费用为最小或创造的价值最大）？这是典型的分配问题或指派问题。又如有n项加工任务，怎样指定n台机器分别去完成，以使总的加工时间最少或总收入最大；有n条航线，怎样指定n艘船分别航行，使总收入最大，等等，都属于指派问题。

3. 指派问题的描述

3.1 指派问题的一般形式

指派问题的标准形式（以人和事为例）如下。有n个人和n项任务，已知第i个人做第j件事的费用为，要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n项任务的费用最少。

一般把目标函数的系数写为矩阵形式，称矩阵

为系数矩阵（Coefficient  Matrix），也称为效益矩阵或价值矩阵。矩阵的元素（i,j=1,2,…n）表示分配第i个人去完成第j项任务时的效益。一般地，以表示给定的资源分配用于给定活动时的有关效益（时间，费用，价值等），且

3.2 问题的数学模型一般形式

在模型中，约束条件式（2）表示每个人只能做一件事，约束条件式（3）表示每件事只能由一个人去做。

对于问题的每个可行解，可用解矩阵来表示：

当然，作为可行解，矩阵的每列元素中都有且只有一个1，以满足约束条件式（3）。每行元素中也有且只有一个1，以满足约束条件（2）。指派问题n!个可行解。

 

 

4．指派问题实现

4.1  匈牙利算法

4.1.1 匈牙利算法的理论基础

定理1  如果从分配问题的效率矩阵[]的每一行元素中分别减去（或加上）一个常数，从每一列中分别减去（或加上）一个常数，得到一个新的效率矩阵[]，则以[]为效率矩阵的分配问题与以[]为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。

定理2 若矩阵A的元素可以分为‘0’与‘非0’的两部分，则覆盖‘0’元素最少直线数等于位于不同行不同列的‘0’元素的最大个数。

 

4.1.2匈牙利算法的实现步骤

第一步：找出矩阵每行的最小元素，分别从每行中减去这个最小元素；

第二步：再找去矩阵每列的最小元素，分别从各列减去这个最小元素；

第三步：经过这两步变换后，矩阵的每行每列至少都有了一个零元素，接着根据以下准则进行试指派，找出覆盖上面矩阵中所有零元素至少需要多少条直线；

（1）从第一行开始，若该行只有一个零元素打上（）号。对打（）号零元素所在列划一条直线。若该行没有零元素或有两个以上零元素（已划去的不计在内），则转下一行，一直到最后一行为止；

（2）从第一列开始，若该列只有一个零元素就对这个零元素打上（）号（同样不考虑已划去的零元素），对打（）号零元素所在行划一条直线。若该列没有零元素或 还有两个以上零元素，则转下一列，并进行到最后一列；

（3）重复（1）、（2）两个步骤，可能出现三种情况：

①  矩阵每行都有一个打（）号零元素，很显然，按照上述步骤得到的打（）的零元素都位于不同行不同列，因此就找到了问题的答案；

②  有多于两行或两列存在两个以上零元素，即出现了零元素的闭回路，这个时候可顺着闭回路的走向，对每个间隔的零元素打上（）号，然后对所有打（）号零元素或所有列或所在行划一条直线。

③  矩阵中所有零元素或打上（）号，或被划去，但打（）号零元素个数小于m。

第四步：为了设法使每行都有一个打（）的零元素，就要继续对矩阵进行变换；

（1）从矩阵未被直线覆盖的元素找出最小元素k；

（2）对矩阵的每行，当该行有直线覆盖时，令=0，无直线覆盖的，令=k；

（3）对矩阵的每列，当该列有直线覆盖时，令=-k，无直线覆盖的，令=0；

（4）得列一个变换后的矩阵，其中每个元素=--。

第五步：回到第三步，反复进行，一直到矩阵中每一行都有一个打（）的零元素为止，即找到最优分配方案为止。

4.1.3 匈牙利算法实现指派问题

为了便于对模型进行求解与分析，假设有4件事4个人去做，各变量对应的数据假设如表1。

表1  每个人完成各项任务需要的时间

人	任务
	A	B	C	D
甲	25	29	31	42
乙	39	38	26	20
丙	34	27	28	40
丁	24	42	36	23

所以最优解为x11，x23，x32，x44，即甲负责任务A，乙负责任务C，丙负责任务B，丁负责任务D，可以使总花费时间最少。代入求出目标函数值

Z=25+26+27+23=101。

4.2  0-1整数规划

0-1规划（0-1 Programming）一种特殊形式的整数规划 。这种规划的决策变量仅取值0或1，故称为0-1变量或二进制变量 ，因为一个非负整数都可以用二进制记 数法用若干个0-1变量表示 。0-1变量可以数量化地描述诸如开与关、取与弃、有与无等现象所反映的离散变量间的逻辑关系、顺序关系以及互斥的约束条件 ，因此0-1规划非常适合描述和解决如线路设计 、工厂选址 、生产计划安排、旅行购物、背包问题、人员安排、代码选取、可靠性等人们所关心的多种问题。实际上，凡是有界变量的整数规划都可以转化为0-1规划来处理。当然也包括运筹学中的指派问题。

 

4.2.1  模型假设

为了便于对模型进行求解与分析，假设有4件事4个人去做，各变量对应的数据假设如表1。

表1  每个人完成各项任务需要的时间

人	任务
	A	B	C	D
甲	25	29	31	42
乙	39	38	26	20
丙	34	27	28	40
丁	24	42	36	23

表2  变量假设

i	第i个人
j	第j项任务
	第i个人分配第j项任务
=1	第i个人被分配去做第j项任务
=0	第i个人不被分配到第j项任务

 

4.2.2  模型建立

由此，建立的数学模型为：

5. 进一步思考

　　其实实际中每个工人要做多个任务，否则对于发起者来说成本太高了。而且考虑到任务的完成质量，每个任务要由多个人去做~那么该如何实现呢？是不是听起来感觉很简单的样子，做起来又不会做了呢？哈哈哈，这就是我存在的价值~帮您解决您的个性化的问题