【做题记录】 [HEOI2013]SAO

P4099 [HEOI2013]SAO

类型：树形 \(\text{DP}\)

这里主要补充一下 \(O(n^3)\) 的 \(\text{DP}\) 优化的过程，基础转移方程推导可以参考其他巨佬的博客（题解）。

令 \(f[x][p]\) 表示在以 \(x\) 为根的子树中，\(x\) 在拓扑序排在第 \(p\) 个时的方案数。

转移中设 \(x\) 在已经合并的拓扑序中排名为 \(p_1\) ，将要合并的子树（以 \(ver\) 为根）中 \(ver\) 排名为 \(p_2\) ，合并后 \(x\) 排名为 \(p_3\) 。

列出转移方程：（为了表示方便略去了取模操作）

• 若 \(x < ver\) 即 \(x\) 应在 \(ver\) 之前，\(p_1<p_2\) 。

for(p1 = [1,siz[x]])
	for(p2 = [1,siz[ver]])
		for(p3 = [p1,p1+p2-1])
	 		f[x][p3]+=f[x][p1]*f[ver][p2]*c[p3-1][p1-1]*c[siz[x]+siz[ver]-p3][siz[x]-p1];

• 若 \(x > ver\) 即 \(x\) 应在 \(ver\) 之后，\(p_1>p_2\) 。

for(p1 = [1,siz[x]])
	for(p2 = [1,siz[ver]])
	 	for(p3 = [p1+p2,siz[x]+siz[ver]])
	 	 	f[x][p3]+=f[x][p1]*f[ver][p2]*c[p3-1][p1-1]*c[siz[x]+siz[ver]-p3][siz[x]-p1];

（更直观的转移方程：）

\[f[x][p3]+=f[x][p1]\times f[ver][p2]\times C_{p3-1}^{p1-1}\times C_{siz[x]+siz[ver]-p3}^{siz[x]-p1}
\]

到此为止，你可以得到 \(40pts\) 的好成绩。

交换内外循环

可以观察到 \(p_2\) 在转移方程中只出现了一次，因此我们将 \(p_2\) 和 \(p_3\) 的循环交换，列出转移方程：

• 若 \(x < ver\) 即 \(x\) 应在 \(ver\) 之前，\(p_1<p_2\) 。

for(p1 = [1,siz[x]])
	for(p3 = [p1,p1+siz[ver]-1])
	 	for(p2 = [p3-p1+1,siz[ver]])
		 	f[x][p3]+=f[x][p1]*f[ver][p2]*c[p3-1][p1-1]*c[siz[x]+siz[ver]-p3][siz[x]-p1];

• 若 \(x > ver\) 即 \(x\) 应在 \(ver\) 之后，\(p_1>p_2\) 。

for(p1 = [1,siz[x]])
	for(p3 = [p1+1,p1+siz[ver]])
	 	for(p2 = [1,p3-p1])
		 	f[x][p3]+=f[x][p1]*f[ver][p2]*c[p3-1][p1-1]*c[siz[x]+siz[ver]-p3][siz[x]-p1];

前缀和优化去掉一层循环

通过上一步的交换，发现 \(f[x][p3]\) 累加中的 \(p2\) 是一段连续的，并且满足乘法结合律，联想到前缀和优化。

令 \(g[x][p]\) 表示在以 \(x\) 为根的子树中，\(x\) 在拓扑序排在前 \(p\) 个时的方案数之和。

那么转移方程变为：

• 若 \(x < ver\) 即 \(x\) 应在 \(ver\) 之前，\(p_1<p_2\) 。

for(p1 = [1,siz[x]])
	for(p3 = [p1,p1+siz[ver]-1])
		g[x][p3]+=g[x][p1]*(g[ver][siz[ver]]-g[ver][p3-p1])*c[p3-1][p1-1]*c[siz[x]+siz[ver]-p3][siz[x]-p1];

• 若 \(x > ver\) 即 \(x\) 应在 \(ver\) 之后，\(p_1>p_2\) 。

for(p1 = [1,siz[x]])
	for(p3 = [p1+1,p1+siz[ver]])
		g[x][p3]+=g[x][p1]*g[ver][p3-p1]*c[p3-1][p1-1]*c[siz[x]+siz[ver]-p3][siz[x]-p1];

记得在最后加上：

for(int i=1;i<=siz[x];i++) g[x][i]+=g[x][i-1];

所以这道题 \(AC\) 了。

注：转移中为了维持方程的无后效性，应将 \(f\) 数组备份一遍。

\(100pts\) 完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Maxn 1005
#define mod 1000000007
inline int rd()
{
	 int x=0;
     char ch,t=0;
     while(!isdigit(ch = getchar())) t|=ch=='-';
     while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
     return x=t?-x:x;
}
int t,n,tot;
int dp[Maxn][Maxn],tmp[Maxn],c[Maxn][Maxn],siz[Maxn];
int hea[Maxn],nex[Maxn<<1],ver[Maxn<<1],edg[Maxn<<1];
void add(int x,int y,int d)
{
	 ver[++tot]=y,nex[tot]=hea[x],hea[x]=tot,edg[tot]=d;
}
void dfs(int x,int fa)
{
	 siz[x]=1,dp[x][1]=1;
	 for(int i=hea[x];i;i=nex[i])
	 {
	 	 if(ver[i]==fa) continue;
	 	 dfs(ver[i],x);
	 	 memcpy(tmp,dp[x],sizeof(dp[x]));
	 	 memset(dp[x],0,sizeof(dp[x]));
	 	 if(edg[i])
		 	 for(int p1=1;p1<=siz[x];p1++)
	 	 	 	 for(int p3=p1;p3<=siz[ver[i]]+p1-1;p3++)
					 dp[x][p3]=(dp[x][p3]+1ll*tmp[p1]*(dp[ver[i]][siz[ver[i]]]-dp[ver[i]][p3-p1]+mod)%mod*c[p3-1][p1-1]%mod*c[siz[x]+siz[ver[i]]-p3][siz[x]-p1]%mod)%mod;
		 else
		 	 for(int p1=1;p1<=siz[x];p1++)
	 	 	 	 for(int p3=p1+1;p3<=siz[ver[i]]+p1;p3++)
					 dp[x][p3]=(dp[x][p3]+1ll*tmp[p1]*dp[ver[i]][p3-p1]%mod*c[p3-1][p1-1]%mod*c[siz[x]+siz[ver[i]]-p3][siz[x]-p1]%mod)%mod;
	 	 siz[x]+=siz[ver[i]];
	 }
	 for(int i=1;i<=siz[x];i++) dp[x][i]=(dp[x][i]+dp[x][i-1])%mod;
}
int main()
{
     //freopen(".in","r",stdin);
     //freopen(".out","w",stdout);
     c[1][0]=c[0][0]=1;
     for(int i=1;i<=1000;i++,c[i][0]=1)
     	 for(int j=1;j<=i;j++)
     	 	 c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
	 t=rd();
	 char c;
	 while(t--)
	 {
	 	 n=rd();
	 	 memset(hea,0,sizeof(hea)),tot=0;
	 	 memset(siz,0,sizeof(siz));
	 	 for(int i=1,x,y;i<n;i++)
	 	 {
	 	 	 x=rd()+1,cin>>c,y=rd()+1;
	 	 	 add(x,y,c=='<'),add(y,x,c=='>');
		 }
		 dfs(1,0);
		 printf("%d\n",dp[1][n]);
	 }
     //fclose(stdin);
     //fclose(stdout);
     return 0;
}