【题解】10-19秀秀的森林(forest)

我恨秀秀
倍增LCA+离线 (时光倒流)

题目

秀秀有一棵带n个顶点的树T，每个节点有一个点权ai-。
有一天，她想拥有两棵树，于是她从T中删去了一条边。
第二天，她认为三棵树或许会更好一些。因此，她又从她拥有的某一棵树中删去了一条边。
如此往复，每一天秀秀都会删去一条尚未被删去的边，直到她得到由n棵只有一个点的树构成的
森林。
秀秀定义一条简单路径（节点不重复出现的路径）的权值为路径上所有点的权值之和，一棵树的
直径为树上权值最大的简单路径。秀秀认为树最重要的特征就是它的直径。所以她想请你算出任一时
刻她拥有的所有树的直径的乘积。因为这个数可能很大，你只需输出这个数对$10^{9}+7$取模之后的结
果即可。

输入输出

输入格式
从文件forest.in 中读入数据。

输入的第一行包含一个整数n，表示树T 上顶点的数量。

下一行包含n 个空格分隔的整数ai，表示顶点的权值。

之后的n-1 行中，每一行包含两个用空格分隔的整数xi 和yi，表示节点xi 和yi 之间连有一条边，编号为i。

再之后n-1 行中，每一行包含一个整数kj，表示在第j 天里会被删除的边的编号

输出格式
输出文件到forest.out 中。
输出n 行。 
在第i 行，输出删除i-1 条边之后，所有树直径的乘积对$10^{9}+7$ 取模的结果

思路

核心：LCA+离线

• 我们倒着来看，当删完所有的边后，每棵树的直径就是自己的点权
• 所以有初值for(i=1—>n)ans[n]*=q[i]%mod
  • ans[n]为n次操作后的答案
  • q[i]为点i的权值
• 然后倒着做每次操作
  • 把断边转化成连边，变成两棵树的合并，并求其合并后的直径，
  • 那么把之前的断点记录一下，用倍增 Lca O(log N) 求出哪个值最大即可。
  • 其它树的值不用都计算，只需除以两个数的值、再乘回合并后的值即可（用逆元）

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e5+2,mo=1e9+7;
int tot;
int a[N],q[N],f[N];
int fa[N][17],len[N][17],dep[N];
long long ans[N],v[N];           //v[i]存以i为根节点的树的直径长
int head[N],next[N<<1],en[N<<1];
struct data{
    int x,y;
}b[N],g[N],t;    //b存边两端的点，t存直径两端的结点 ，g[i]存以i为根节点的树的直径的两端的点 

struct kk{
    int u,v,next;
}e[N<<1];
inline int read()
{
    int X=0,w=1; char ch=0;
    while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return X*w;
}
inline void write(long long x)
{
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
inline void add(int u,int v)
{
    e[++tot].v=v;
    e[tot].next=head[u];
    head[u]=tot;

}
inline int get(int x)
{
    if(f[x]==x) return x;
    return f[x]=get(f[x]);
}
inline void dfs(int x)
{
    dep[x]=dep[fa[x][0]]+1;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
        if(e[i].v!=fa[x][0])
        {
            fa[e[i].v][0]=x;
            len[e[i].v][0]=a[e[i].v];
            dfs(e[i].v);
        }
}
inline long long fast_pow(long long x,int y)
{
    long long s=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) s=s*x%mo;
        x=x*x%mo;
        y>>=1;
    }
    return s;
}
inline int lca(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int sum=0;
    for(int i=log2(dep[x]);i>=0;i--)
        if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) sum+=len[x][i],x=fa[x][i];
    if(x==y) return sum+a[x];
    for(int i=log2(dep[x]);i>=0;i--)
        if(fa[x][i]!=fa[y][i]) sum+=len[x][i]+len[y][i],x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    sum+=len[x][0]+len[y][0]+a[fa[x][0]];
    return sum;
}
int main()
{
    int n=read();
    for(int i=ans[n]=1;i<=n;i++)
    {
        v[i]=a[i]=read();
        ans[n]=ans[n]*a[i]%mo;
        g[i].x=g[i].y=f[i]=i;
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        b[i].x=read(),b[i].y=read();
        add(b[i].x,b[i].y);
        add(b[i].y,b[i].x);
    }
    dfs(1);
    for(int j=1;j<17;j++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
            len[i][j]=len[i][j-1]+len[fa[i][j-1]][j-1];     //权值和
        }
    for(int i=1;i<n;i++) q[i]=read();
    for(int i=n-1;i;i--)
    {
        int x=b[q[i]].x,y=b[q[i]].y;
        int f1=get(x),f2=get(y);
        f[f1]=f2;                                       //合并
        ans[i]=ans[i+1]*fast_pow(v[f1],mo-2)%mo*fast_pow(v[f2],mo-2)%mo;     //逆元
        long long mx=0;
        int s1=lca(g[f1].x,g[f2].x),s2=lca(g[f1].y,g[f2].y);    //枚举四个点之间的路径长
        int s3=lca(g[f1].x,g[f2].y),s4=lca(g[f1].y,g[f2].x);
        if(s1>s2)
        {
            if(s1>s3)
            {
                if(s1>s4)
                {
                    mx=s1;
                    t.x=g[f1].x,t.y=g[f2].x;
                }else
                {
                    mx=s4;
                    t.x=g[f1].y,t.y=g[f2].x;
                }
            }else
            {
                if(s3>s4)
                {
                    mx=s3;
                    t.x=g[f1].x,t.y=g[f2].y;
                }else
                {
                    mx=s4;
                    t.x=g[f1].y,t.y=g[f2].x;
                }
            }
        }else
        {
            if(s2>s3)
            {
                if(s2>s4)
                {
                    mx=s2;
                    t.x=g[f1].y,t.y=g[f2].y;
                }else
                {
                    mx=s4;
                    t.x=g[f1].y,t.y=g[f2].x;
                }
            }else
            {
                if(s3>s4)
                {
                    mx=s3;
                    t.x=g[f1].x,t.y=g[f2].y;
                }else
                {
                    mx=s4;
                    t.x=g[f1].y,t.y=g[f2].x;
                }
            }
        }
        if(v[f1]>mx) mx=v[f1],t=g[f1];    //也有可能合并前后直径并没有改变
        if(v[f2]>mx) mx=v[f2],t=g[f2];
        ans[i]=ans[i]*mx%mo;
        v[f2]=mx;
        g[f2]=t;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) write(ans[i]),putchar('\n');
    return 0;
}

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