POJ2663，3420题解

两道非常像的题，放到一起来写

题目大意：用若干2x1的砖去铺一个3xN的空间（POJ3420为4xN），问总共有多少种不同的铺法（POJ3420还要求结果对MOD求模）。

思路：找规律。对于3xN的空间，显然N为奇数时答案为0。设f(n)为3xn时的结果，b(n)为3xn中不能够切分（即不包括由两个更小的n的铺法拼起来的铺法）的铺法数量。

则有f(n)=f(n-1)*b(1)+f(n-2)*b(2)+...+f(0)*b(n)。

n为奇数时铺法显然为0，所以f(n)=f(n-2)*b(2)+f(n-4)*b(4)+...+f(0)*b(n)

又可以求得：

b(2)=3，b(4)=b(6)=...=b(n)=2

=>f(n)=3f(n-2)+2(f(n-4)+f(n-6)+...+f(0))

又有f(n-2)=3f(n-4)+2(f(n-6)+f(n-8)+...+f(0))

两式相减，得f(n)=4f(n-2)-f(n-4)

所以可以构造矩阵：

f(n+4)            0  4  0 -1     f(n+3)

f(n+3)            1  0  0  0     f(n+2)

f(n+2)      =    0  1  0  0  *  f(n+1)

f(n+1)            0  0  1  0     f(n)

而对于4XN的空间，同样地，设f(n)为3xn时的结果，b(n)为3xn中不能够切分（即不包括由两个更小的n的铺法拼起来的铺法）的铺法数量。

f(n)=f(n-1)*b(1)+f(n-2)*b(2)+...+f(0)*b(n)。

又可以求得：

b(1)=1，b(2)=4

b(4)=b(6)=...=3

b(3)=b(5)=...=2

=>f(n)=f(n-1)+4f(n-2)+3(f(n-4)+f(n-6)+...)+2(f(n-3)+f(n-5)+...)

=>f(n-1)=f(n-2)+4f(n-3)+3(f(n-5)+f(n-7)+...)+2(f(n-4)+f(n-6)+...)

=>f(n)=5f(n-2)+6f(n-3)+5(f(n-4)+f(n-5)+...)

=>f(n-1)=5f(n-3)+6f(n-4)+5(f(n-5)+f(n-6)+...)

=>f(n)-f(n-1)=5f(n-2)+f(n-3)-f(n-4)

=>f(n)=f(n-1)+5f(n-2)+f(n-3)-f(n-4)

所以可以构造矩阵：

f(n+4)            1  5  1 -1     f(n+3)

f(n+3)            1  0  0  0     f(n+2)

f(n+2)     =     0  1  0  0  *  f(n+1)

f(n+1)            0  0  1  0     f(n)

注意本题取模时可能有负数，因为这个WA了半天。。。

代码：

//POJ.2663
//Author: Prgl
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0)

typedef long long ll;
typedef pair<int, int>P;
typedef vector<ll>vec;
typedef vector<vec>mat;

#define INF 0x3f3f3f3f
const double EPS = 1e-18;
const int maxn = 2e4 + 1;

ll N, MOD;

mat mul(mat& A, mat& B)
{
	mat C(A.size(), vec(B[0].size()));
	for (int i = 0; i < A.size(); i++)
	{
		for (int j = 0; j < B[0].size(); j++)
		{
			for (int k = 0; k < B.size(); k++)
				C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
		}
	}

	return C;
}

mat pow(mat A, ll n)
{
	mat B(A.size(), vec(A.size()));
	for (int i = 0; i < A.size(); i++)
		B[i][i] = 1;
	while (n > 0)
	{
		if (n & 1)
			B = mul(A, B);
		A = mul(A, A);
		n >>= 1;
	}

	return B;
}

void solve()
{
	if (N == 0)
	{
		cout << 1 << endl;
		return;
	}
	if (N % 2)
	{
		cout << 0 << endl;
		return;
	}
	mat A(4, vec(1));
	A[0][0] = 11;
	A[1][0] = 0;
	A[2][0] = 3;
	A[3][0] = 0;
	mat T(4, vec(4));
	T[0][0] = 0; T[0][1] = 4; T[0][2] = 0; T[0][3] = -1;
	T[1][0] = T[2][1] = T[3][2] = 1;
	if (N > 4)
	{
		mat B = pow(T, N - 4);
		mat R = mul(B, A);
		cout << R[0][0] << endl;
	}
	else
		cout << A[4 - N][0] << endl;
}

int main()
{
	IOS;
	cin >> N;
	while (N != -1)
	{
		solve();
		cin >> N;
	}

	return 0;
}            

//POJ.3420
//Author: Prgl
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0)

typedef long long ll;
typedef pair<int, int>P;
typedef vector<ll>vec;
typedef vector<vec>mat;

#define F "Impossible"
#define INF 0x3f3f3f3f
const double EPS = 1e-18;
const int maxn = 2e4 + 1;

ll N, MOD;

mat mul(mat& A, mat& B)
{
	mat C(A.size(), vec(B[0].size()));
	for (int i = 0; i < A.size(); i++)
	{
		for (int j = 0; j < B[0].size(); j++)
		{
			for (int k = 0; k < B.size(); k++)
			{
				C[i][j] += A[i][k] * B[k][j] % MOD;
				if (A[i][k] * B[k][j] < 0)
					C[i][j] += MOD;
			}
			C[i][j] = C[i][j] % MOD;
			if (C[i][j] % MOD < 0)
				C[i][j] += MOD;
		}
	}

	return C;
}

mat pow(mat A, ll n)
{
	mat B(A.size(), vec(A.size()));
	for (int i = 0; i < A.size(); i++)
		B[i][i] = 1;
	while (n > 0)
	{
		if (n & 1)
			B = mul(A, B);
		A = mul(A, A);
		n >>= 1;
	}

	return B;
}

void solve()
{
	mat A(4, vec(1));
	A[0][0] = 36;
	A[1][0] = 11;
	A[2][0] = 5;
	A[3][0] = 1;
	mat T(4, vec(4));
	T[0][0] = 1; T[0][1] = 5; T[0][2] = 1; T[0][3] = -1;
	T[1][0] = T[2][1] = T[3][2] = 1;
	if (N > 4)
	{
		mat B = pow(T, N - 4);
		mat R = mul(B, A);
		cout << (R[0][0] % MOD < 0 ? R[0][0] % MOD + MOD : R[0][0] % MOD) << endl;
	}
	else
		cout << (A[4 - N][0] % MOD < 0 ? A[4 - N][0] % MOD + MOD : A[4 - N][0] % MOD) << endl;
}

int main()
{
	IOS;
	cin >> N >> MOD;
	while (N != 0 || MOD != 0)
	{
		solve();
		cin >> N >> MOD;
	}

	return 0;
}