洛谷3648 [APIO2014]序列分割（斜率优化+dp）

首先对于这个题目。

qwq

存在一个性质就是，最终的答案只跟你的分割的位置有关，而和顺序无关。

举一个小栗子

\(a\ b\ c\)

将这个东西分成两块。

如果我们先分割\(ab\)之间的话，\(ans = a*(b+c) + b*c\)

如果先分割\(bc\)之间的话，\(ans=c*(a+b)+a*b\)

答案是一样的。（也可以理解成如果位置，两数相乘的次数是一定的）

那么得到这个结论之后

也就不难得出\(dp\)柿子了

\[dp[i][p]=max(dp[j][p-1]+(sum[i] + sum[j])\times sum[j])
\]

设\(f[x]=dp[x]-sum[x]*sum[x]\)

经过推柿子$$\frac{f[j]-f[k]}{sum[j]-sum[k]} > -sum[i]$$

然后直接上斜率优化

// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk make_pair
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}
const int maxn = 1e5+1e2;
struct Point
{
    ll x,y;
    int num;
};
ll chacheng(Point x,Point y)
{
    return x.x*y.y-x.y*y.x;
}
bool count(Point i,Point j,Point k)
{
    Point x,y;
    x.x=k.x-i.x;
    x.y=k.y-i.y;
    y.x=k.x-j.x;
    y.y=k.y-j.y;
    if (chacheng(x,y)>=0) return true;
    return false;
}
struct Node{
    Point q[maxn];
    ll head=1,tail=0;
    void push(Point x)
    {
        while (tail>=head+1 && count(q[tail-1],q[tail],x)) tail--;
        q[++tail]=x;
    }
    void pop(int lim)
    {
        while (tail>=head+1 && (q[head+1].y-q[head].y > lim * (q[head+1].x-q[head].x))) head++;
    }
};
Node q[210];
ll sum[maxn];
int n,k;
ll dp[2][210];
int pos[100010][210];
int main()
{
  n=read();k=read();
  k++;
  for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]=read();
  for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]+=sum[i-1];
  q[0].push((Point){0,0,0});
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
    for (int j=1;j<=min(i,k);j++)
    {
    	q[j-1].pop((-1)*sum[i]);
    	Point now = q[j-1].q[q[j-1].head];
    	dp[i&1][j]=now.y+now.x*now.x+(sum[i]-now.x)*now.x;
    	pos[i][j]=now.num;
    	q[j].push((Point){sum[i],dp[i&1][j]-sum[i]*sum[i],i});
    }
  }
  cout<<dp[n&1][k]<<endl;
  for (int i=n,j=k;i && j>1;i=pos[i][j],j--)
     cout<<pos[i][j]<<" ";
  cout<<endl;
  return 0;
}