题解 HDU 5279 YJC plays Minecraft

题目传送门

题目大意

给出\(n\)以及\(a_{1,2,...,n}\)，表示有\(n\)个完全图，第\(i\)个完全图大小为\(a_i\)，这些完全图之间第\(i\)个完全图的点\(a_i\)与\(i\bmod n+1\)的点\(1\)相连。问有多少种方法可以删掉某些边，使得整个图变成一个森林。

思路

话说因为是英文懒得读题，直接看题解里面的题目大意，结果一直理解不了，后来才发现他意思写错了。。。所以说一个正确的题目大意有多重要（雾

有一个人尽皆知的知识，就是\(n\)个点的树有\(n^{n-2}\)个。下面会用到这个东西。

我们设\(f_i\)表示\(i\)个点的完全图删掉一些边变成森林的方案数。可以得到:

\[f_n=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}f_i(n-i)^{n-i-2}
\]

\[=(n-1)!\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f_i}{i!}\frac{(n-i)^{n-i-2}}{(n-i-1)!}
\]

这个式子的意思就是我们可以先固定一个点，然后从\(n-1\)选出\(i\)个点单独成森林，然后剩下的点组成一棵树。

然后我们发现这个式子我们其实可以使用分治\(\text {NTT}\)预处理\(\Theta(n\log^2 n)\)之内求出来。

我们考虑如何统计答案。我们发现其实可以使用容斥原理求到:

\[\text {ans}=2^n\prod_{i=1}^{n} f_{a_i}-\prod_{i=1}^{n} (\sum_{j=2}^{a_i}\binom{a_i-2}{j-2}j^{j-2}f_{a_i-j})
\]

前面一个的意思就是统计所有的答案，完全图之间管它连不连，后面一个就是整个图构成一个大环（这其实并不准确，但是意思到位就行）。既然要构成大环，肯定一个完全图内首尾要相连，就肯定是一棵树（要删边成森林）。

然后我们发现后面那个式子可以\(\text {NTT}\)预处理，于是我们就解决了这个问题。

总时间复杂度为\(\Theta(\max\{a_i\}\log^2 \max\{a_i\}+Tn)\)。

\(\text {Code}\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define mod 998244353
#define ll long long
#define MAXN 600005

int quick_pow (int a,int b,int c){
	int res = 1;for (;b;b >>= 1,a = 1ll * a * a % c) if (b & 1) res = 1ll * res * a % c;
	return res;
}

int rev[MAXN];

void NTT (int *a,int len,int type){
#define G 3
#define Gi 332748118
	int limit = 1,l = 0;
	while (limit < len) limit <<= 1,l ++;
	for (Int i = 0;i < limit;++ i) rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << l - 1);
	for (Int i = 0;i < limit;++ i) if (i < rev[i]) swap (a[i],a[rev[i]]);
	for (Int i = 1;i < limit;i <<= 1){
		int Wn = quick_pow (type == 1 ? G : Gi,(mod - 1) / (i << 1),mod);
		for (Int j = 0;j < limit;j += i << 1)
			for (Int k = 0,w = 1;k < i;++ k,w = 1ll * w * Wn % mod){
				int x = a[j + k],y = 1ll * w * a[i + j + k] % mod;
				a[j + k] = (x + y) % mod,a[i + j + k] = (x + mod - y) % mod;
			}
	}
	if (type == 1) return ;
	for (Int i = 0,Inv = quick_pow (limit,mod - 2,mod);i < limit;++ i) a[i] = 1ll * a[i] * Inv % mod;
#undef G
#undef Gi
}

void multi (int *a,int *b,int *c,int len1,int len2){
	int limit = 1;
	while (limit < len1 + len2 - 1) limit <<= 1;
	for (Int i = len1;i < limit;++ i) a[i] = 0;
	for (Int i = len2;i < limit;++ i) b[i] = 0;
	NTT (a,limit,1),NTT (b,limit,1);
	for (Int i = 0;i < limit;++ i) c[i] = 1ll * a[i] * b[i] % mod;
	NTT (c,limit,-1);
}

int f[MAXN],g[MAXN],A[MAXN],B[MAXN],C[MAXN],fac[MAXN],ifac[MAXN];

void cdq (int l,int r){
	if (l == r){
		if (l == 0) f[l] = 1;
		else f[l] = 1ll * f[l] * fac[l - 1] % mod;
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;cdq (l,mid);
	for (Int i = l;i <= mid;++ i) A[i - l] = 1ll * f[i] * ifac[i] % mod;
	B[0] = 1;for (Int i = 2;i <= r - l;++ i) B[i - 1] = 1ll * quick_pow (i,i - 2,mod) * ifac[i - 1] % mod;
	multi (A,B,C,mid - l + 1,r - l);
	for (Int i = mid + 1;i <= r;++ i) f[i] = (f[i] + C[i - l - 1]) % mod;
	cdq (mid + 1,r);
}

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}

signed main(){
#define Maxn 1<<17
#define Maxm 100005
	fac[0] = 1;for (Int i = 1;i <= Maxn;++ i) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
	ifac[Maxn] = quick_pow (fac[Maxn],mod - 2,mod);for (Int i = Maxn;i;-- i) ifac[i - 1] = 1ll * ifac[i] * i % mod;
	cdq (0,Maxm);
	for (Int i = 2;i <= Maxm;++ i) A[i - 2] = 1ll * quick_pow (i,i - 2,mod) * ifac[i - 2] % mod;
	for (Int i = 0;i <= Maxm - 2;++ i) B[i] = 1ll * f[i] * ifac[i] % mod;
	multi (A,B,C,Maxm - 1,Maxm - 1);
	g[1] = 1;for (Int i = 2;i <= Maxm;++ i) g[i] = 1ll * fac[i - 2] * C[i - 2] % mod;
	int T;read (T);
	while (T --){
		int n;read (n);int ans = quick_pow (2,n,mod),sum = 1;
		for (Int i = 1,a;i <= n;++ i) read (a),ans = 1ll * ans * f[a] % mod,sum = 1ll * sum * g[a] % mod;
		write ((ans + mod - sum) % mod),putchar ('\n');
	}
	return 0;
}